concrete maths ch4 number theory

ch4 number theory

数论研究正数的性质

1.整除

gcd lcm 扩展欧几里得。

整除求和(sum_{n|m})的几个公式。ch2的知识会很有用。

2.质数

Fundamental Theorem of Arithmetic：

根据唯一分解定理，每个数可以用质数的次数数组表示：

[(n_2,n_3,n_5...) ]

这样 gcd lcm都有了新的定义。这种形式后面也会用到

3.质数example

欧几里得数

定义

根据质数有无数个证明的证明形式得到欧几里得数(Euclid numbers)

[e_n = e_1e_2 ... e_{n-1} + 1\ e_1=1 ]

性质

欧几里得数e1~e5,e6是质数，其它（<=e19）不是。

根据欧几里得算法欧几里得数互质。

递推式为：

[e_n=e^2_{n-1}-e_{n-1}+1 ]

公式为：(E approx 1.264)是无理数。

[e_n=lfloor E^{2^n}+1/2 floor ]

一个类似的得到质数的公式：

[p_n=lfloor P^{3^n} floor ]

这样的公式没有实际用途的，因为里面的常数是根据数列推算出来的。

梅森数

定义

(2^p-1)的数

性质

有特殊的方法进行素数测试。

(2^pk+1)也有一些特殊性质。

质数的密度

(P_n approx n ln n)

(pi(x)approx frac{x}{ln x})

4.阶乘的近似和质因数分解

指数上的不等式放缩得到阶乘的上下界。

阶乘质因数分解公式

5.互质

记(mperp n),给出了一些唯一分解定理数组和向量垂直的类比，和性质。

Stern-Brocot tree

构造与定义：

从(frac{0}{1},frac{1}{0})开始相邻的两个分数分子分母分别相加，得到的数写在它们之间。

把每次迭代得到的新数写在一层中，每一层称Farey series (F_n)

可以得到一棵SB树。

性质：

SB树包含了所有有理数，不重不漏。

可用LR串来代表任意有理数。L代表向左儿子转移，resp.R

知LR串求有理数可以用矩阵转移。

知有理数求LR串可以用二分加转移。

6.模 ：一致关系与CRT

这里我们对整个等式取模，$aequiv b(mod m) $ 读作a is congruent to b modulo m（同余/全等）. 可以理解为(a-b=km)

模相同下可以下加减乘，除分类讨论：

[ad equiv bd(mod m )leftrightarrow aequiv b(mod frac{m}{gcd(d,m)}) ]

模不同可以互相推导：

[a equiv b(mod md ) ightarrow a equiv b(mod d ) ]

[a equiv b(mod m ),a equiv b(mod n ) ightarrow a equiv b(mod lcm(m,n) ) ]

特别地，当(mperp n)时，就是CRT的形式。

7.CRT应用：独立余

同余的一个应用是 residue number system（余数系统）即把x表示为模一些两两互质的数的余数。

[Res(x) = (x mod m_1, ... , x mod m_r) ]

对余数数组的每个元素分别加减 除（需讨论） 等价于对原数的运算。用CRT得到x

讨论了(x^2equiv1)的解

例题

P4139 上帝与集合的正确用法

hdu多校第六场 1006 Faraway

8.一些定理 费马小定理，威尔逊定理

证明了引理

[0 mod m, n mod m, 2n mod m, ..., (m- 1)n mod m\ consist of 0, d, 2d, ..., m- d ]

然后证明了费马小定理

[n^{p-1}equiv 1(mod p) ]

用上一节(x^2equiv1)的结论证明了Wilson's theorem:

[(n - 1)! equiv -1 (mod n)leftrightarrow n is prime, ]

9.phi 和 mu 积性函数

(phi(n))是0~m-1中与m互质的数的数量。gcd（x，0）==x??

积性函数

根据定义，尤其再质数处的函数值决定。

(x^2equiv1)的解的数量也是积性函数。

用分数的最简形式 farey series证明了

[sum_{d|n}phi(d)=n ]

证明了g(n)是积性的。

[g(n)=sum_{d|n}phi(d) ]

mu

定义

[sum_{d|n}mu(d)=[n=1] ]

性质

莫比乌斯反演

mu(d)的计算

phi前缀和

例题

本质不同的项链种类 polya？？