数列的极限
数列极限的定义
极限的概念是在探求实际问题的精确解答中诞生的(如割圆法).
以割圆法为例,设有一圆,首先做其内正六边形,把它的面积记为 A1;再作其内接正十二边形,其z面积记为 A2;再作其内接正二十四边形,其面积记为 A3;如此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正 6×2n−1 边形的面积记为 An(n∈N+),这样就得到一系列正多边形的面积$$A_1,A_2,A_3,cdots,A_n,cdots,$$它们构成一列有次序的数.当 n 越大,正多边形和圆的差别就越小,从而以 An 作为圆面积的近似值也越精确.但无论 n 取如何大,只要 n 确定了,An 终究只是多边形的面积,而还不是圆的面积.因此,设想 n 无限增大(记为 n→∞,读作 n 趋近于无穷大),即内接正多边形的边数无限增加,同时 An 也无限接近某个确定的数值,这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数(所谓序列)A1,A−2,A−3,⋯,An,⋯当 n→∞ 时的极限.在圆面积这个问题中我们看到,正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.
在解决实际问题中逐渐形成这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法,因此有必要作进一步的阐明.
先说明数列的概念.如果如果按照某一法则,对每个 n∈N+,对应着一个确定的实数 xn,这些实数 xn 按照下标 n 从小到大排列得到的一个序列$$x_1,x_2,x_3,cdots,x_n,cdots$$就叫做数列,简记数列 {xn}.
数列中的每个数叫做叫做数列的项,第 n 项 xn 叫做数列的一般项(或通项).
对于我们要讨论的问题来说,重要的是:当 n 无限增大时,对应的 xn=f(x) 是否能无限接近于某个确定的数值?如果能够的话,这个数值等于多少?
(作者是在是懒,就直接用书中的例题了)
我们对数列
进行分析.在这个数列中
从绝对值的角度考虑,|a−b| 越小,说明 a 与 b 越接近$$|x_n-1|=|frac{1}{n}(-1)^{n-1}|,$$可以发现当 n 越来越大时,1n 越来越小,从而 xn 就越来越接近于 1,因为只要 n 足够大,|xn−1| 可以小于任意给定的正数,所以说当 n 无限增大时,xn 无限接近于 1.例如,给定 1a(a∈N+),如果想要 |xn−1|<1a,只要 n>a,即从第 a+1 项开始,都能使不等式成立.一般地,不论给定的正数 ε 多么小,总存在一个正整数 N,使得当 n>N 时,不等式$$|x_n-1|<varepsilon$$都成立.这就是数列 xn=n+−1n−1n(n=1,2,⋯)当 n→∞ 时无限接近于 1 这件事的实质.这样的一个数 1,叫做数列 xn=n+−1n−1n(n=1,2,⋯)当 x→∞ 时的极限.
一般地,有乳腺数列的极限的定义:
设 {xn} 为一个数列,如果存在常数 a 对于任意给定的正数 ε(不论它多么小),总存在正整数 N,使得 n>N 时,不等式$$|x_n-a|<varepsilon$$都成立,那么就称常数 a 是数列 {xn} 的极限,或者数列 xn 收敛域 a,记为$$lim_{n oinfty}x_n=a,$$或$$x_n o a(n o infty).$$
如果不存在这样的常数 a,就说明 {xn} 没有极限,或者说数列 {xn} 是发散的,习惯上也说 limn→∞ 不存在.
上面定义中的正数 ε 可以任意给定是很重要的,因为是有是有这样,不等式 |xn−a|<ε 才能表达出 xn 与 a 无限接近的意思.此外还应注意到:定义中的正整数 N 是与给定的正数 ε 有关的,它随 ε 的给定而选定.
关于"数列 {xn} 的极限为 a"的几何解释这里不展开,有兴趣可以看看这里.
为了表达方便,引入记号"∀"表示"对于任意给定的"或"对于每一个",记号"∃"表示"存在".相关用法和含义可以看看这里和这里.数列极限 limn→∞=a⇔∀ε>0,∃ 正整数 N,当 n>N 时,有 |xn−a|<ε.
数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限的方法,以后要将极限的求法.