函数的极限
无穷大
定理2
自变量的同一变化过程中,如果 (f(x)) 为无穷大,那么 (frac{1}{f(x)}) 为无穷小;反之 (f(x)) 为无穷小,且 (f(x) ot=0),那么 (frac{1}{f(x)}) 为无穷大.
证:设 (lim_{x o x_0}f(x)=infty).
(forall varepsilon>0).根据无穷大的定义,对于 (M=frac{1}{varepsilon}),(exists delta>0),当 (0<|x-x_0|<delta) 时,有$$|f(x)|>M=frac{1}{varepsilon},$$$$|frac{1}{f(x)}<varepsilon|,$$所以 (frac{1}{f(x)}) 为当 (x o x_0) 时的无穷小.
运用类似方法也可以证明无穷大的情形.
极限运算法则
下面的讨论中,记号 (lim) 下面没有标明自变量的变化过程,实际上,下面的定理对 (x o x_0) 和 (x oinfty) 都是成立的,在证明时,只证明 (x o x_0) 的情况,只要把 (delta) 改成 (X),把 (0<|x-x_0|<delta) 改成 (|x|>X),就可以得到 (x oinfty) 时的证明.
定理1
两个无限小的和是无限小.
证:设 (alpha) 和 (eta) 是当 (x o x_0) 时的两个无限小,而$$gamma=alpha+eta.$$
(forallvarepsilon>0).因为 (alpha) 是 (x o x_0) 时的无限小,对于 (frac{varepsilon}{2}>0),(exists delta_1>0),当 (0<|x-x_0|<delta_1) 时,不等式$$|alpha|<frac{varepsilon}{2}$$成立.又因 (eta) 是当 (x o x_0) 时的无穷小,对于 (frac{varepsilon}{2}),(exists delta_2>0),当 (0<|x-x_0|<delta_2) 时,不等式$$|eta|<frac{varepsilon}{2}$$成立.取 (delta=min{delta_1,delta_2}),则当 (0<|x-x_0|<delta) 时,$$|alpha|<frac{varepsilon}{2},$$$$|eta|<frac{varepsilon}{2}$$同时成立,从而 (|gamma|=|alpha+eta|<frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2}=varepsilon),这就证明了 (gamma) 也是 (x o x_0) 时 的无限小.
通过数学归纳法可证明:优先个无限小之和也是无限小.
定理2
有界函数与无限小的乘积也是无限小.
设函数 (u) 在 (x_0) 的某一去心邻域 (mathring{U}(x_0,delta_1)) 内是有界的,即 (exists M>0) 使得 (|u|leq M) 对一切 (xinmathring{U}(x_0,delta_1)) 成立.又设 (alpha) 是当 (x o x_0) 时的无限小,即 (forall varepsilon>0),(exists delta_2>0),当 (xinmathring{U}(x_0,delta_1)) 时,有$$|alpha|<frac{varepsilon}{M}.$$取 (delta=min{delta_1,delta_2}),则当 (xinmathring{U}(x_0,delta_1)) 时,$$|u|leq M$$和$$|alpha|<frac{varepsilon}{M}$$同时成立.从而 $$|ualpha|=|u| imes|alpha|<M*frac{varepsilon}{M}=varepsilon,$$这就证明了 (ualpha) 是当 (x o x_0) 时的无限小.
推论1:常数与无限小的乘积是无限小.
推论2:有限个无限小的乘积是无限小.