「高等数学学习笔记 DAY14」

极限存在的准则 两个重要极限

下面讲判定极限存在的两个准则,以及作为应用准则的例子,讨论两个重要极限:(lim_{x o 0}frac{sin x}{x}=1) 和 (lim_{x oinfty}(1+frac{1}{x})^x=e).

准则1

如果数列 ({x_n}),({y_n}) 和 ({z_n}) 满足以下条件:

1. 从某项起,即 (exists n_0inmathbb{N}_+),当 (n>n_0) 时,有$$y_nleq x_nleq z_n;$$
2. (lim_{n oinfty}y_n=a,lim_{n oinfty}z_n=a)

那么数列 ({x_n}) 的极限存在,且 (lim_{n oinfty}x_n=a).

证:因为 (y_n o a),(z_n o a),所以根据数列极限的定义,(forallvarepsilon>0).(exists N_1inmathbb{N}_+),当 (n>N_1) 时,有 (y_n-a<varepsilon);又 (exists N_2inmathbb{N}_+),当 (n>N_2) 时,有 (|z_n-a|<varepsilon).现在取 (N=max{n_0,N_1,N_2}),则当 (n>N) 时,有$$|y_n-a|<varepsilon,|z_n-a|<varepsilon$$同时成立,即$$a-varepsilon<y_n<a+varepsilon,a-varepsilon<z_n<a+varepsilon$$同时成立.又因为当 (n>N) 时,(x_n) 介于 (y_n) 和 (z_n) 之间,从而有$$a-varepsilon<y_nleq x_nleq z_n<a+varepsilon,$$即(|x_n-a|<varepsilon)成立.这就证明了 (lim_{n oinfty} x_n=a).

同样也可以用在函数极限的证明中.

准则1'

如果

1. 当 (xinmathring{U}{x_0,r})(或 (|x|>M))时,$$g(x)leq f(x)leq h(x);$$
2. (mathop{lim_{x o x_0}g(x)}limits_{(x oinfty)}=A),(mathop{lim_{x o x_0}h(x)}limits_{(x oinfty)}=A),

那么 (mathop{lim_{x o x_0}f(x)}limits_{(x oinfty)}) 存在,且等于 (A).

准则1(准则1')称为夹逼准则.