极限存在的准则 两个重要极限
准则2
单调有界函数必有极限.
如果数列 ({x_n}) 满足$$x_1leq x_2leq x_3leqcdotsleq x_{n-1}leq x_nleqcdots,$$就称数列 ({x_n}) 是单调增加的;同理,如果数列 ({x_n}) 满足$$x_1geq x_2geq x_3geqcdotsgeq x_{n-1}geq x_ngeqcdots,$$就称数列 ({x_n}) 是单调减少的.单调增加和单调减少的数列统称为单调数列.
从数轴上看,对于单调数列上的点 (x_n) 只会向一个方向移动,所以只会无限远或者趋近于某个定点 (A),也就是这个数列的极限,因为这个数列有界,所以不可能会无限远,那么自然就有极限了.
准则2'
设函数 (f(x)) 在 (x_0) 的某个左邻域内单调且有界,则 (f(x)) 在 (x_0) 的左极限 (f(x_0^-)) 必定存在.
柯西极限存在准则
因为收敛数列不一定单调,因此在准则2中所给出的单调有界,是收敛数列的充分条件,而不是必要的.当然有界这一条件对数列的收敛性来说是必要的.下面叙述的柯西极限存在准则,它给出了数列收敛的充分必要条件.
柯西极限存在准则
数列 ({x_n}) 收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数 (varepsilon),存在正整数 (N),使得 (n>N,m>N) 时有$$|x_n-x_m|<varepsilon.$$
证:必要性:设 (lim_{x oinfty} x_n=a.)(forall varepsilon>0),由数列的第定义,(exists Ninmathbb{N}_+),当 (n>N) 时,有$$|x_n-a|<frac{varepsilon}{2};$$同样,当 (m>N) 时,也有$$|x_m-a|<frac{varepsilon}{2}.$$因此,当 (n>N,m>N) 时,有$$|x_n-x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|leq|x_n-a|+|x_m-a|<frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2}=varepsilon,$$所以条件是必要的.
柯西极限存在准则有时也叫作柯西收敛原理.