「Luogu P6452 [COCI2008-2009#4] TREZOR」

题目大意

给出一个 ((a+b) imes (l-1)) 的矩形,端点为 ((0,0)) 和 ((l-1,a+b)),在 ((-1,0)) 和 ((-1,a+b)) 的位置有一个特殊点,问又多少点满足和其中一个特殊点之间的连线不经过其他点,和两个特殊点的连线不经过其他点,以及两个特殊点和它的连线都会经过其他点.

分析

对于两线之后不经过其他点的点对 ((x_1,y_1),(x_2,y_2)) 必定满足 (gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)=1)(具体可以看看 P2158 的题解区,这里不作多解释),可以发现 (a+b) 的范围很小,所以考虑枚举所在的行,对于每一行计算答案.

设 (f(l,x)) 表示 (sumlimits_{i=1}^{l}[gcd(i,x)=1]).即计算 (1sim l) 中与 (x) 互质的数的个数.

那么对于第 (i) 行第一个特殊点可以看见的点的个数 (=f(l,i-1)),第二个特殊点可以看见的点的个数 (=f(l,a+b+1-i)).

考虑 (f) 的本质,(f(l,x)) 的计算可以把 (x) 拆成 (p_1^{k_1}p_{2}^{k_2}p_{3}^{k_3}dots).那么 (f(l,x)=l-lfloorfrac{l}{p_1} floor-lfloorfrac{l}{p_2} floordots+lfloorfrac{l}{p_1p_2} floor+lfloorfrac{l}{p_2p_3} floor+lfloorfrac{l}{p_1p_3} floordots-lfloorfrac{l}{p_1p_2p_3} floor-lfloorfrac{l}{p_1p_2p_4} floor-lfloorfrac{l}{p_1p_3p_4} floordotsdots) 变成了一个简单的容斥,(f(l,x)=) 选 (0) 个数的乘积在 (1sim m) 中的倍数个数 (-) 选 (1) 个数的乘积在 (1sim m) 中的倍数的个数 (+) 选 (2) 个数的乘积在 (1sim m) 中倍数的个数 (dots)

同时被两个点看到的方案数 (=f(l,(i-1)(a+b+1-i)))(可以理解为需要得到将两个数分解之后所得的质数集合的并集,((i-1)(a+b+1-i)) 换成 (operatorname{lcm}(i-1,a+b+1,i)) 也是可以的)

恰好只会被第一个特殊点看到的方案数 (=f(l,i-1)-f(l,(i-1)(a+b+1-i))).第二个特殊点同理.

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define REP(i,first,last) for(int i=first;i<=last;++i)
#define DOW(i,first,last) for(int i=first;i>=last;--i)
using namespace std;
const int PRIME[303]={2,3,5,7,11,13,....};//2000 以内的质数表
int a,b,l;
long long answer1,answer2;
long long sum;
int cnt=0;
int num[100];
void DFS(int now=1,int use=0,long long add=1)
{
	if(now==cnt+1)
	{
		sum+=1ll*(use&1?-1:1)*(l/add);//选了偶数个是加上,选了奇数个是减
		return;
	}
	DFS(now+1,use,add);
	DFS(now+1,use+1,add*num[now]);
}
long long Calc(int a)
{
	if(!a)
	{
		return 1;
	}
	sum=0;
	cnt=0;
	REP(i,0,302)//将数分解为若干质数的幂次的乘积的形式
	{
		if(a%PRIME[i]==0)
		{
			num[++cnt]=PRIME[i];
			while(a%PRIME[i]==0)
			{
				a/=PRIME[i];
			}
		}
	}
	if(a^1)
	{
		num[++cnt]=a;
	}
	DFS();//暴力 DFS 容斥
	return sum;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&l);
	int len=a+b+1;
	REP(i,1,len)
	{
		a=i-1;
		b=len-i;
		long long ua=Calc(a);//第一个特殊点可以看见的点的数量
		long long ub=Calc(b);//第二个特殊点可以看见的点的数量
		long long uab=Calc(a*b);//第一个和第二个特殊点可以同时看见的点的数量
		answer2+=uab;//记录答案
		answer1+=ua-uab+ub-uab;
	}
	printf("%lld
%lld
%lld
",1ll*len*l-answer1-answer2,answer1,answer2);
	return 0;
}