废话不多说，直接上题：
1580：加分二叉树
时间限制: 1000 ms 内存限制: 524288 KB
提交数: 121 通过数: 91
【题目描述】
原题来自：NOIP 2003
设一个 n 个节点的二叉树 tree 的中序遍历为 (1,2,3,⋯,n)，其中数字 1,2,3,⋯,n 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i 个节点的分数为 di ，tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 subtree（也包含 tree 本身）的加分计算方法如下：
记 subtree 的左子树加分为 l，右子树加分为 r，subtree 的根的分数为 a，则 subtree 的加分为：
l×r+a
若某个子树为空，规定其加分为 1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为 (1,2,3,⋯,n) 且加分最高的二叉树 tree。
要求输出：
1、tree 的最高加分；
2、tree 的前序遍历。
【输入】
第一行一个整数 n 表示节点个数；
第二行 n 个空格隔开的整数，表示各节点的分数。
【输出】
第一行一个整数，为最高加分 b；
第二行 n 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
【输入样例】
5 5 7 1 2 10
【输出样例】
145 3 1 2 4 5
【提示】
数据范围与提示：
对于 100% 的数据，n<30,b<100，结果不超过 4×109 。
【来源】
这道题在信息奥赛一本通oj上被归类为树型动态规划，其实并不是，确实有树的数据结构要用到，但是更多需要的是区间动态规划的技巧。如果你不会区间动态规划，请戳这里学习区间动态规划。
首先，我们把这道题分成两个部分，分别是求最高加分和树的先序遍历，先来说最高加分怎么办：
先思考一下，题目中给出的顺序（中序遍历）有什么用？中序遍历的顺序是左子树 -> 根节点 -> 右子树，那么我们不妨枚举根节点的位置，那么根节点左边的就是左子树，右边的就是右子树，然后继续在左右子树中以同样的方法枚举根节点……直到分成叶子结点，返回该节点的分数就可以了。这样是什么，这不就是递归吗？所以我们这里采用记忆化搜索的形式来写。
那么我们就可以用f[i][j]来表示i到j区间内的最大加分，状态转移方程就很明了了：f[i][j]=max{f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[i]}。
不过需要注意一点，可能会出现一些越界（其实是空树）情况，例如i>j时，记得返回1。
然后，我们来考虑怎么输出先序遍历，我们可以在执行上面的动态规划的过程中记录下一个root二维数组，root[i][j]表示i到j区间内选择的最优根节点编号，方便于输出先序遍历结果。最后只要按照先序遍历的顺序遍历就行了，碰到叶子节点时直接输出。
好了，代码如下：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int f[1000][1000],a[1000],tree[1000],root[1000][1000],cnt,mid,n,ans; 4 int dp(int i,int j)//动态规划 5 { 6 if(i==j) return a[i];//碰到叶子结点直接返回 7 if(i>j) return 1;//注意空树（不存在左子树或右子树或都不存在）的情况 8 if(f[i][j]) return f[i][j];//记忆化 9 for(int k=i;k<=j;k++) 10 { 11 int x=dp(i,k-1)*dp(k+1,j)+a[k];//状态转移方程 12 if(f[i][j]<x) 13 { 14 f[i][j]=x; 15 root[i][j]=k;//记录i~j区间的根节点 16 } 17 } 18 return f[i][j]; 19 } 20 void print(int i,int j) 21 { 22 if(i>j) return;//避免空树 23 if(i==j)//叶节点直接输出 24 { 25 cout<<i<<" "; 26 return; 27 } 28 cout<<root[i][j]<<" ";//根 29 print(i,root[i][j]-1);//左子树 30 print(root[i][j]+1,j);//右子树 31 } 32 int main() 33 { 34 cin>>n; 35 for(int i=1;i<=n;i++) 36 cin>>a[i]; 37 cout<<dp(1,n)<<endl; 38 print(1,n); 39 return 0; 40 }