关于快速幂……

写在前面

这是一个基础不太扎实的蒟蒻的随手整理内容……

主要分为两部分吧

1.普通快速幂

2.矩阵快速幂

题目完成进度

当我们要求(a^b)mod n的结果时，暴力的话就是直接循环b次把底数a相乘再mod n，这样的时间复杂度是O(b)的，但如果b的取值很大，效率就不高了，因此我们就需要优化。

如何优化呢？当然是用快速幂啦！(感觉我好蠢啊QAQ)

一.普通快速幂

1.思路解析

对于线性求解的问题，如果需要优化，基本就是考虑树形结构或者分治，把原本O(n)的复杂度降到O(logn)，这里的快速幂用到的就是分治思想

现在要求a^b，那么有两种情况，我们分别对这两种情况进行不同的转化：

<1>b为偶数，则a^b=a^b/2*a^b/2

<2>b为奇数，则a^b=a^b/2*a^b/2*a(b/2向下取整)

这样以此类推，把b/2继续分解成b/4，b/8……最终直至b被分解为1，这样的算法就叫快速幂算法

2.核心代码

int ksm(int a,int b,int n){
    if(b==1) return a;
    if(b%2==0){//如果b是偶数
        int t=ksm(a,b/2,n);
        return t*t%n;
    }
    else{//如果b是奇数
        int t=ksm(a,b/2,n);
        t=t*t%n;
        t=t*a%n;
        return t;
    }
}

以上是递归形式的写法，如果写成非递归形式就是下面酱紫QWQ

int ksm(int a,int b,int n){
    int res=1;
    while(b){
        if(b%2==1) res=res*a%n;//如果是奇数就要记得多乘一个底数
        a=a*a%n;//因为指数变成了原来的一半，所以底数要变成原来的平方
        b=b/2;//把b变成原来的一半继续乘
    }
    return res;
}

还有一种非递归写法，运用到了位运算，可以理解为把指数b转化为二进制数，然后因为二进制转十进制就是对应各个位上2的几次方相加，同时因为x^m+n=x^m*xⁿ，所以这样就可以转化为各个位上的指数拆开后，再把结果相乘即可

这样484有点不太好懂？我来举个栗子吧，比如说我们现在要求的是3¹⁷

把17转为二进制就是(17)₁₀=(10001)₂

我们代入代码手动模拟一下

int ksm(int a,int b,int n){
    int res=1;//记录答案
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%n;
//位运算，如果当前这一位上b是1就要乘上这一位指数算出的幂
        a=a*a%n;//累乘a
        b=b>>1;//位运算，相当于b/2
    }
    return res;
}

首先a=3，b=17，n就先不管

接下来进入循环，因为b的最后一位为1，符合条件，所以答案res要乘上3，于是现在res=3，然后a=9，b=(1000)₂

继续循环，此时b的最后一位是0，所以不符合条件，于是res没有变化，a=81，b=(100)₂

这样继续下去如果记录过程的话，最后答案res=3^{(1×2^0)}×3^{(0×2^1)}×3^{(0×2^2)}×3^{(0×2^3)}×3^{(1×2^4)}=3¹×9⁰×81⁰×6561⁰×43046721¹

就是酱紫！嚯呀QWQ

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二.矩阵快速幂

矩阵快速幂的话主要是对于方阵乘幂来讲的啦

方阵乘幂是虾米嘞？

就是将一个方阵n次方，注意是方阵！方阵！行列数相等的那种！不是方阵是不能进行乘幂运算的！QAQ

由于矩阵乘法满足结合律，所以可以用快速幂来求方阵乘幂

还有要注意一下，矩阵乘法和数的乘法是不一样滴！

一个n×m的矩阵和一个m×n的矩阵相乘会经过下面这样的过程：

 懂了伐？484很简单？

所以矩阵快速幂就是把数的快速幂的模板改一下就好啦

我这里就不放代码啦QWQ(其实就是懒)

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