整数划分问题

整数划分（一）

描述

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 
同划分个数。 
例如正整数6有如下11种不同的划分： 
6； 
5+1； 
4+2，4+1+1； 
3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
1+1+1+1+1+1。 

输入

第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。

输出

输出每组测试数据有多少种分法。

样例输入

1
6

样例输出

11

先上代码：

#include<iostream>  
using namespace std;  
int q(int n,int m)  //数字 n 进行划分，最大值为 m 
{  
    if((n<1)||(m<1))  
        return 0;  
    if((n == 1)||(m == 1))  
        return 1;  
    if(n < m)  
        return q(n,n);  
    if(n == m)  
        return q(n,m-1)+1;  //不包含最大值 m + 只含最大值 m 
    return q(n,m-1)+q(n-m,m);  //不包含最大值 m + 只含最大值 m 
}  
int main()  
{  
    int T,n;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n;
        cout<<q(n,n)<<endl;  
    }
}  

讨论五种情况：

①ｎ＝１：此时无论怎么划分，都只有一种情况。

②ｍ＝１：此时只有ｎ个１这种划分情况。

③ｎ＜ｍ：应该返回ｑ（ｎ，ｎ），这很好理解，因为一个数不可能划分为比自己还大的数

④ｎ＝ｍ：应该返回ｑ（ｎ，ｍ－１）＋１，看成　把ｎ划分为【最大值为ｎ－１的数】和【最大值只为ｎ的数】。因为ｎ＝ｍ，所以最大值为ｎ的话，只有一种数，所以第二种情况为１

⑤ｎ＞ｍ：应该返回ｑ（ｎ，ｍ－１）＋ｑ（ｎ－ｍ，ｍ）看成　把ｎ划分为【最大值为ｍ－１的数】和【最大值只为ｍ的数】。看情况二，比如ｑ（６，４），如果最大值只能为４的话，那么只有【４,２】和【４,１,１】两种情况。看红色部分，相当于把ｎ减去ｍ之后，最大值为ｍ的划分，也就是ｑ（ｎ－ｍ，ｍ）

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整数划分（二）

描述

把一个正整数m分成n个正整数的和，有多少种分法？

例：把5分成3个正正数的和，有两种分法：

1 1 3

1 2 2

输入

第一行是一个整数T表示共有T组测试数据(T<=50)
每组测试数据都是两个正整数m,n，其中(1<=n<=m<=100),分别表示要拆分的正数和拆分的正整数的个数。

输出

输出拆分的方法的数目。

样例输入

2
5 2
5 3

样例输出

2
2

代码：

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
using namespace std;  
int q(int n,int m)  //数字 n 划分为 m 个数字 
{  
    if(n<m) return 0;
    else if(n==m || m==1)    
        return 1;
    else//一个数字能划分为 含有1的 和 不含有1的 
        return q(n-1,m-1)+q(n-m,m);//含有1的删掉一个1，n和m都减一。不含有1的所有数字都减一 
}  
int main()
{
//    freopen("2.txt","r",stdin);
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d
",q(n,m));
    }
}  

递归，比如将7划分为3个正整数的和，肯定是1,1,5  1,2,4 ，1,3,3,       2,2,3；

这里分成两部分，一部分是包含1，即1,1,5， 1,2,4  1,3,3里面都有1，因此可以划分成1,5,  2,4   3,3(把1除掉) 另一

部分是不包含1，即2,2,3 ，可以将2,2,3分别减去1，即1,1,2，因此递归式就出来了，

q(7,3)=q(6,2)+q(4,3);  

即q(m,n)=q(m-1,n-1)+q(m-n,n);

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整数划分(三)

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。

输入

多组输入数据。
每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

7
2
3
3
3