64位整数乘法

　　题目大意：给定两数a，b和模数p，求a*b mod p的值。

解法一：迭代累加法

　　用类似于快速幂的思想，我们把a*b看作b个a相加，每次将各项两两合并，然后令b除以2。特判b不是2的倍数时把单独的一项累积到答案上。复杂度为对数级别。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
long long p, a, b;
long long pro(long long a, long long b, const long long &p) {
    long long ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1)
            ans = (ans + a) % p;
        b >>= 1;
        a = (a << 1) % p;
    }
    return ans;
}
int main() {
    cin >> a >> b >> p;
    cout << pro(a, b, p);
    return 0;
}

解法二：转化原式后O(1)求解

　　这个方法我想了好久才明白……首先，在c++中，除法是比乘法优先的。算法进阶上给出的程序并没有说明这点。

　　我们考虑模运算的数学定义：

　　a * b % p = a * b - [(a * b) / p] * p = a * b - [a * (b / p)] * p

　　其中a * (b/p)显然可以用long double型存下来，并且能够保证除法的精度。（long double 的精度由编译器决定，一般情况下可以存18 ～ 19位）那么我们可以先计算出上式中的两项，然后作差即可得到答案。因为二者的差小于模数p，差值一定在long long范围中，可以不用考虑高位上的溢出。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
long long a, b, p;
long long mul(long long a, long long b) {
    a %= p, b %= p;
    long long t2 = (long double)(a * b) / p;
    long long del = a * b - t2 * p;
    del += p, del %= p;
    return del;
}
int main() {
    cin >> a >> b >> p;
    cout << mul(a, b);
    return 0;
}