[离散时间信号处理学习笔记] 9. z变换性质

z变换描述

$x[n] stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow}X(z) ,quad ROC=R_x$

序列$x[n]$经过z变换后得到复变函数$X(z)$，该函数的收敛域为$R_x$

线性

z变换的线性性质

$ax_1[n]+bx_2[n] stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z),quad ROC contains R_{x_1}cap R_{x_2}$

证明：

$egin{align*}sum_{n=-infty}^{infty}(ax_1[n]+bx_2[n])z^{-n}
&=sum_{n=-infty}^{infty}ax_1[n]z^{-n}+sum_{n=-infty}^{infty}ax_2[n]z^{-n}\
&=aX_1(z)+bX_2(z)
end{align*}$

$X_1(z)$以及$X_2(z)$的收敛域分别为$R_{x_1}$以及$R_{x_2}$，不过他们两个组合后可能会使得某些极点被消除，即线性组合后的z变换的收敛域与相交收敛域相比，可能会多出这些可能被消除的极点，所以这里用“包含（contains）”。

时移

z变换的时移性质

$x[n-n_0]stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow} z^{-n_0}X(z),quad ROC=R_x$

证明：

$egin{align*}sum_{n=-infty}^{infty}x[n-n_0]z^{-n}
&=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]z^{-(m+n_0)}quad letting m=n-n_0\
&=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]z^{-m}z^{-n_0}\
&=z^{-n_0}X(z)
end{align*}$

指数相乘

指数相乘性质

$z_0^nx[n]stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow}Xleft(frac{z}{z_0} ight),quad ROC=|z_0|R_x $

证明：

$egin{align*}sum_{n=-infty}^{infty}z_0^nx[n]z^{-n}
&=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]left(frac{z}{z_0} ight)^{-n}\
&=Xleft(frac{z}{z_0} ight)
end{align*}$

微分

微分性质

$nx[n] stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow} –zfrac{dX(z)}{dz},quad ROC=R_x$

证明：

$egin{align*}sum_{n=-infty}^{infty}nx[n]z^{-n}
&=sum_{n=-infty}^{infty}nx[n]z^{-n}\
&=-zsum_{n=-infty}^{infty}(-n)x[n]z^{-n-1}\
&=-zsum_{n=-infty}^{infty}frac{dleft(x[n]z^{-n} ight)}{dz}\
&=-zfrac{dleft(displaystyle{sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n}} ight)}{dz}\
&=-zfrac{dX(z)}{dz}
end{align*}$

共轭

共轭性质

$x^*[n] stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow} X^{*}(z^*),quad ROC=R_x$

证明：

$egin{align*}
sum_{n=-infty}^{infty}x^*[n]z^{-n}
&=sum_{n=-infty}^{infty}(|x[n]|cosangle x[n]-i|x[n]|sinangle x[n])[|z^{-n}|cosangle (z^{-n})+i|z^{-n}|sinangle(z^{-n})]\
&=sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|(cos phi - isinphi)|z^{-n}|[cos(-n heta)+isin(-n heta)] quad letting phi=angle x[n], heta=angle (z)\
&=sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]z^{-n}|{(cosphi cos(-n heta)+sinphi sin(-n heta)]+i[cosphi sin(-n heta)-sinphi cos(-n heta)]}\
&=sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]z^{-n}|[cos(phi+n heta)+isin(-n heta-phi)]\
&=sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]z^{-n}|[cos(phi+n heta)-isin(n heta+phi)]\
end{align*}$

又已知

$displaystyle{sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n}=sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]z^{-n}|[cos(phi-n heta)+isin(phi-n heta)]}$

对比两个式子的结果，得证。

时间倒置

时间倒置性质

$x[-n]stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow}Xleft( frac{1}{z} ight),quad ROC=frac{1}{R_x}$

证明：

$egin{align*}
sum_{n=-infty}^{infty}x[-n]z^{-n}
&=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]z^{m}quad letting m=-n\
&=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]left( frac{1}{z} ight )^m\
&=Xleft(frac{1}{z} ight )
end{align*}$

卷积

卷积性质

$x_1[n]*x_2[n] stackrel{mathcal{Z}}{longleftrightarrow}X_1(z)X_2(z),quad ROC contains R_{x_1}cap R_{x_2}$

证明：

$egin{align*}
sum_{n=-infty}^{infty}(x_1[n]*x_2[n])z^{-n}
&= sum_{n=-infty}^{infty}left(sum_{k=-infty}^{infty}x_1[k]x_2[n-k] ight)z^{-n}\
&= sum_{k=-infty}^{infty}x_1[k]left(sum_{n=-infty}^{infty}x_2[n-k]z^{-n} ight )\
&= sum_{k=-infty}^{infty}x_1[k]left(sum_{m=-infty}^{infty}x_2[m]z^{-m-k} ight )quad letting m=n-k \
&= left(sum_{k=-infty}^{infty}x_1[k]z^{-k} ight )left(sum_{m=-infty}^{infty}x_2[m]z^{-m} ight )\
&= X_1(z)X_2(z)
end{align*}$