101 爬楼梯

原题网址：https://www.lintcode.com/problem/climbing-stairs/description

描述

假设你正在爬楼梯，需要n步你才能到达顶部。但每次你只能爬一步或者两步，你能有多少种不同的方法爬到楼顶部？

您在真实的面试中是否遇到过这个题？  是

样例

比如n=3，1+1+1=1+2=2+1=3，共有3种不同的方法

返回 3

标签

动态规划(DP)

 

思路：这道题也是用动态规划的方法来解，但区别于数字三角形和最小路径和，此题的状态转移方程没有那么明显。

 

为了梳理思路，先列举几个n 为小数值的解。

 

n = 1，只有一种解法；

n = 2，有 1+1 = 2，2 = 2，两种解法；

n = 3，有 1+1+1 = 3,1+2 = 3,2+1 =3 三种解法；

n = 4，有 1+1+1+1 = 4，1+1+2 = 4，1+2+1 = 4，2+1+1 = 4，2+2 = 4 五种解法；

n = 5，有 1+1+1+1+1 = 5，1+1+1+2 = 5，1+1+2+1 = 5，1+2+1+1 = 5，2+1+1+1 = 5， 1+2+2 = 5， 2+1+2 = 5， 2+2+1 = 5 八种解法；

n = 6，同理，有13种解法，这里不再罗列。

 

通过观察可以发现，当 n >= 3 时，n 解法个数 = n-1个数 + n-2个数。

 

所以可以定义一个一维数组dp【n】，初始dp【0】=1，dp【1】=2。

状态转移方程为 dp【i】= dp【i-1】+ dp【i-2】。

最后return dp【n-1】。

 

AC代码：

class Solution {
public:
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: An integer
     */
    int climbStairs(int n) {
        // write your code here
        if (n<=0)
    {
        return 0;
    }
    if (n==1)
    {
        return 1;
    }
    vector<int> dp(n,0);
    dp[0]=1;
    dp[1]=2;
    for (int i=2;i<n;i++)
    {
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    }
    return dp[n-1];
    }
};

 蠢了，理解爬楼梯问题还有更直接的方式。

n=1，一种；

n=2，两种；

n=3，三种；（要么从第1级迈上来,要么从第2级迈上来）

n=4，五种；（要么从第2级迈上来,要么从第3级迈上来）

……

n=i，要么从第 i -1 级迈上来,要么从第 i-2 级迈上来。

所以状态转移方程一目了然，dp【i】= dp【i-1】+ dp【i-2】。

参考：https://blog.csdn.net/Sunny_Ran/article/details/49722333    与    https://blog.csdn.net/ouyangjinbin/article/details/51083767

 关于代码实现，还可以使用递归的方式。如果嫌递归方式效率低，还可以用循环。这样不需要额外定义动态规划数组浪费空间。