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  • 我对Burnside定理的理解

      我想了想,发现可以证明burnside定理。

    置换n个元素1,2,…,n之间的一个置换表示1被1到n中的某个数a1取代,2被1到n中的某个数a2取代,直到n被1到n中的某个数an取代,且a1,a2,…,an互不相同。

    置换群:置换群的元素是置换,运算是置换的连接。例如:

      可以验证置换群满足群的四个条件。

      重点是这个:│Ek│·│Zk│=│G│    k=1…n 这个我不会证明,但是很好理解:每个不动点都可以找到一个对应的置换,差不多就这个意思。

    该公式的一个很重要的研究对象是群的元素个数,有很大的用处。

    Zk (K不动置换类)设G是1…n的置换群。若K是1…n中某个元素,G中使K保持不变的置换的全体,记以Zk,叫做G中使K保持不动的置换类,简称K不动置换类。

    Ek(等价类)设G是1…n的置换群。若K是1…n中某个元素,K在G作用下的轨迹,记作Ek。即K在G的作用下所能变化成的所有元素的集合。

      现在就可以证明了,哦,不是证明,是理解,呵呵……

      我们可以发现i所在等价类集合的大小就是Ei,可以感性地理解一下。

      有了│Ek│·│Zk│=│G│    k=1…n 这个神一样的式子,我们设有L个等价类,等价类k中有Ek个元素,每个元素有Zk个不动点,等价类k中的不动点的个数就是│Ek│·│Zk│=│G│,我们对所有等价类的不动点个数求和,得到的就是L*|G|,除以|G|就是等价类个数了。

      Pólya原理就是对求不动点个数方法的扩展,不太难哈。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/TenderRun/p/5997877.html
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