数学（数论）BZOJ 3309：DZY Loves Math

Description

对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

Input

第一行一个数T，表示询问数。
接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。

Output

对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。

Sample Input

4
10000
7558588 9653114
6514903 4451211
7425644 1189442
6335198 4957

Sample Output

35793453939901
14225956593420
4332838845846
15400094813

HINT

【数据规模】

T<=10000

1<=a,b<=10^7

　　莫比乌斯反演得到：

（盗图）

　　然后有类似于yy的GCD的做法，分块加速，复杂度变O(√n)

　　问题就是如何快速预处理出后面的式子，设其为g(x)，这时研究g函数性质，g(x)的取值有哪些规律呢？

　　将x分解质因数，x=p₁^a₁*p₂^a₂*p₃^a₃*……*p_n^a_n，函数即是将x分解成两个集合，求值再求和。

　　1.假设a不全是同一个值，那么那个较小的素数，可以对每个情况属于两个集合使得其值互为相反数，所以值为0。

　　2.a值全相等时，易得g(x)=(-1)^a-1，根据欧拉线性筛的性质，每个数被最小的素因子枚举到，可以维护两个值，当前的a值，去掉当前最小的素因子后的数。

　　然后就可以

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int N=10000010;
 6 int g[N],nxt[N],mem[N];
 7 int prime[N],cnt;
 8 bool check[N];
 9 
10 void Prepare(){
11     for(int i=2;i<N;i++){
12     if(!check[i]){
13         prime[++cnt]=i;
14         g[i]=nxt[i]=mem[i]=1;
15     }
16     for(int j=1;j<=cnt;j++){
17         if(i*prime[j]>=N)break;
18         check[i*prime[j]]=true;
19         if(i%prime[j]==0){
20         nxt[i*prime[j]]=nxt[i];
21         mem[i*prime[j]]=mem[i]+1;
22         if(nxt[i]==1)g[i*prime[j]]=1;
23         else if(mem[nxt[i]]==mem[i]+1)
24             g[i*prime[j]]=-g[nxt[i]];
25         else g[i*prime[j]]=0;
26         break;
27         }
28         else{
29         nxt[i*prime[j]]=i;
30         mem[i*prime[j]]=1;
31         g[i*prime[j]]=(mem[i]==1)?-g[i]:0;
32         }
33     }
34     }
35     for(int i=1;i<N;i++)
36     g[i]+=g[i-1];
37 }
38 int T,a,b;
39 long long ans;
40 int main(){
41     Prepare();
42     scanf("%d",&T);
43     while(T--){
44     scanf("%d%d",&a,&b);
45     if(a>b)swap(a,b);ans=0;
46     for(int i=1,p=1;i<=a;i=p+1){
47         p=min(a/(a/i),b/(b/i));
48         ans+=1ll*(g[p]-g[i-1])*(a/i)*(b/i);
49     }
50     printf("%lld
",ans);
51     }
52     return 0;
53 }

维护了。