实轴上的测度与纲
首先介绍有理数集是可数集，
Cantor：对任意实数列({a_{n}}), 对任意区间 (I), 存在一个点 (pin I), 使得(p eq a_{n}, forall n).
说明，没有一个区间是可数集，将这个定理的证明稍微改变，就变成实轴上贝尔纲定理的证明。
给出稠密的定义，无处稠密集，第一纲集，第二纲集。
Baire：任一实轴上的第一纲集的补集是稠密集, 没有任一区间是第一纲集, 任一列稠密开集的交集是稠密集.
给出测度的定义，零测，零集。
(sigma)-理想的定义，第一纲集类，零集类。是两个例子，都包含可数集类。
Borel：如果一个有限或无限的区间列({I_{n}})覆盖了一个区间(I), 那么(sum |I_{n}|geq|I|).
实轴可以被分解成两个补集(A)和(B), 使得, (A)是第一纲集, (B)是零测集.
两个直观上小的集合的并得到整个实直线。
刘维尔数
第一节的三个定理都是存在性定理，这节我们给出构造。
首先考虑超越数的存在，刘维尔数，刘维尔数集。
刘维尔数集(E)在测度意义下小，在纲意义下大。给出了一个实直线的分割，(Ecup E^c=mathbb{R})，前者零测，后者第一纲。
给出豪斯多夫零测的定义，通常意义下的点集的测度是1-豪斯多夫测度。(E)是(s)-豪斯多夫零测，(forall s>0).