【数据结构】可持久化线段树初步

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简介
原理
代码

简介

所谓可持久化线段树，就是将线段树的各个历史版本存储起来，以达到通过利用历史信息解决问题的目的。

原理

以权值线段树为例，
我们来看看权值线段树是如何实现可持久化的。

给出一个空的权值线段树，依次插入四个数：

1 3 4 2

首先，这是空的树（记为第 (0) 个版本）：（其中键值 (cnt) 表示区间元素个数）

现在插入第一个元素 1 ，注意到我们要保留每一个历史版本，所以我们不是在原树上进行修改，但是我们不可能重新开一个新的线段树，那么开销太大，所以我们发生了修改的地方进行加点：

发生修改的地方：

加点：因为这个时候 1 的个数为 (1) ，而且其他结点的元素个数为 (0) ，所以相关的新增点键值 (cnt) 都是 (1) 。

注意到这样一个事实：新点取代旧点后对应的线段树结构是完全不变的。
但是旧的节点并没有被删去。

那么类似地，我们开始插入第二个元素 3，每次对于加点只需要基于上一个版本就可以了（红色结点表示发生修改的点），如图所示，(cnt) 也进行相应更新：

是不是有点晕，其实到目前，我们有三棵线段树：
一开始的空树：

插入第一个元素后得到的第二棵树：

插入第二个元素后得到第三棵树：

而这三棵树，都储存在可持久化线段树的节点中。

第三第四个元素插入的操作类似于第二个元素插入操作：基于上一版本记录就好了。

模板题目传送门：https://www.acwing.com/problem/content/257/

结合模板题进行分析：
如果查询的区间是 ([1,n]) ，那么开一个权值线段树（不妨将它看成一个桶）就可以了，当查询的 $ k > cnt $ 时，我们向右子树递归，否则向左子树递归。

但是我们需要查询 ([l,r]) ，于是使用可持久化线段树来处理：查询 ([l,r]) 的 (k) 小数，基于前缀和的思想，无非是要知道第 (l-1) 到 (r) 次插入操作元素个数的情况，那么我们作个差就行了：将第 (r) 个版本对应节点的 (cnt) 减去 (l-1) 版本对应节点的 (cnt) 就能够获取相应地元素个数情况了，剩下的操作就是权值线段树的基本操作，结束。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

/*
习惯约定：
u代表结点（编号）
p代表先前版本的位置指针
q代表最新版本的位置指针
*/

const int N=1e5+5, M=1e4+5;
int n,m;
int a[N];
vector<int> nums; // 离散化
int root[N];

int find(int x){
	return lower_bound(nums.begin(),nums.end(),x)-nums.begin();
}

struct node{
	int l,r; // 这里的 l,r 并非区间边界，而是指向左右儿子结点的编号的指针
	int cnt; // 结点键值，维护个数。
}tr[4*N+17*N]; // 初始开的点数+logN * N （各版本总规模）

int idx;
// 返回建立的点的编号，两个参数分别代表左右边界。
int build(int l,int r){
	int u=++idx;
	if(l==r) return u;
	int mid=l+r>>1;
	tr[u].l=build(l,mid), tr[u].r=build(mid+1,r);
	return u;
}

// 递归地插入
int insert(int p,int l,int r,int x){
	int q=++idx;
	tr[q]=tr[p];
	if(l==r){
		tr[q].cnt++;
		return q;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) tr[q].l=insert(tr[p].l,l,mid,x); // 如果更新的位置是在左边，那么 tr[q].l 为新开点
	else tr[q].r=insert(tr[p].r,mid+1,r,x); // 否则 tr[q].r 为新开点
	tr[q].cnt=tr[tr[q].l].cnt+tr[tr[q].r].cnt; // pushup the cnt
	return q;
}

int query(int p,int q,int l,int r,int k){
	if(l==r) return r;
	int mid=l+r>>1;
	int cnt=tr[tr[q].l].cnt-tr[tr[p].l].cnt;
	if(cnt>=k) return query(tr[p].l,tr[q].l,l,mid,k);
	else return query(tr[p].r,tr[q].r,mid+1,r,k-cnt);
}

int main(){
	cin>>n>>m;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i], nums.push_back(a[i]);
		
	sort(nums.begin(),nums.end());
	nums.erase(unique(nums.begin(),nums.end()),nums.end());
	
	root[0]=build(0,nums.size()-1); // 第0个版本指的就是空的线段树。
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
		root[i]=insert(root[i-1],0,nums.size()-1,find(a[i]));
	
	while(m--){
		int l,r,k; cin>>l>>r>>k;
		cout<<nums[query(root[l-1],root[r],0,nums.size()-1,k)]<<endl; // 打印原来的值
	}

	return 0;
}