【网络流】网络流基本概念

网络流涉及到的概念好多 (qwq) ，梳理一下。

流网络

流网络是一个有向图，包含点集和边集。即 (G=(V,E)) 。
对于边 (e:u ightarrow v) （也可以记为 ((u,v)) ），有属性 (c(u,v)) ，称为容量。可以将其比喻为水管在单位时间可以流过的最大水量。

而图 (G) 中有两个特殊的点，称为源点和汇点，通常记为 (s) , (t) ，可以将源点比喻为无限的水源，将汇点比喻为能够容纳无穷的水的容器。

可行流

我们记 (f(u,v)) 为边 (e:u ightarrow v) 当前的流量，流量需要满足两个约束：

1. 容量限制：即 (0 leq f(u,v) leq c(u,v))
2. 流量守恒：除了源点、汇点，其他点流入的流量等于流出的流量，正式地说： (sum_{(u,x) in E} f(u,x) = sum_{(x,v)in E)} f(x,v))

流量值

用单位时间流出源点的流量来刻画，记为 (|f|=sum_{(s,x) in E} f(s,x) - sum_{(y,s)in E)}f(y,s)) 。

最大流

又称为最大可行流，即对于 (G) 中可行流构成的集合中，流量值最大的元素。

残留网络

又称为残量网络，注意，残留网络总是针对原图 (G=(V,E)) 中的某一个可行流而言的，因此，可以残留网络看成是可行流的一个函数，通常记为 (G_f) 。

(G_f=(V_f,E_f)) ，其中 (V_f=V) ， (E_f=E和E中所有的反向边) 。

残留网络中的容量记为 (c'(u,v)) ，定义为：

[ c'(u,v)=left{ egin{matrix} c(u,v)-f(u,v) && (u,v) in E \ f(v,u) && (v,u) in E end{matrix} ight. ]

增广路径

如果从源点 (s) 出发沿着残留网络中容量大于 (0) 的边走，可以走到汇点 (t) ，那么将走过的边所组成的路径称为增广路径。

原网络可行流+残留网络可行流也是原网络的一个可行流

正式地说， (f+f') 属于 (G) 的一个可行流，且有 (|f+f'|=|f|+|f'|) 。

割

是网络中顶点的一个划分，把所有顶点划分成两个顶点集合 (S) 和 (T) ，其中源点 (s) 属于 (S) ，汇点 (t) 属于 (T) ，而且有 (S cup T=V) ，(S cap T=emptyset) ，记为 ([S,T]) 。

割的容量

(c(S,T)=sum_{uin S}sum_{vin T}c(u,v))

最小割

(G) 中所有割组成的集合中，容量最小的元素。

割的流量

(f(S,T)=sum_{uin S}sum_{vin T}f(u,v) - sum_{uin T}sum_{vin S}f(u,v))

任意割的流量 (leq) 容量

正式地说，即 (forall [S,T]) ，(f(S,T)leq c(S,T)) 。

证明：（待补充）

最大流最小割定理

1. (f) 是最大流
2. (G_f) 不存在增广路
3. (exists [S,T]) ，满足 (|f|=c(S,T))

最大流最小割定理指的是：上面的三个命题是等价的。（也就是说可以互推）。

证明：

• 先证明 1 可以推得 2 ：
  反证即可，如果 (G_f) 存在增广路，那么原图 (G) 中存在流量大于 (0) 的可行流 (|f'|) ，那么 (f+f') 也是可行流，且流量为 (|f|+|f'|>|f|) ，矛盾。

• 下证 2 可以推得 3 ：
  我们将对于 (G_f) 中从 (s) 出发沿着容量大于 (0) 的边可以到达的点全部放入集合 (S) 中，然后令 (T=V-S) 。
  那么对于点 (x in S) ，(y in T) ，边 ((x,y)) 一定有 (f(x,y)=c(x,y)) 。
  而对于点 (x in T) ，(y in S) 。必然有 (f(x,y)=0) 。因而割可以被构造出来。

• 最后证明 3 可以推得 1 ：
  因为 (|f|leq 最大流 leq c(S,T)) ，而由 3 可知 (|f|=c(S,T)) ，故上式取等，即有 (f) 是最大流。

最大流FF方法

基于这样的思路：

1. 寻找增广路
2. 利用增广路更新残留网络

一直这样做，直到找不到增广路，那么即可求得最大流。

算法：

单路增广：EK算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF=1e9;
const int N=1005, M=10010;
int n, m, S, T;
struct node{
	int to, c, next;
}e[M<<1];
int h[N], tot;

// 残量网络建图，初始时正向的容量是 c, 反向容量是 0 。
void add(int u, int v, int c){
	e[tot].to=v, e[tot].c=c, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
	e[tot].to=u, e[tot].c=0, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;	
}

int lim[N], pre[N]; // lim[u] 表示 S 到点 u 路径容量的最小值， pre[u] 表示 u 的前驱边。
bool vis[N];
int q[N];

// bfs 找增广路。
bool bfs(){
	memset(vis, false, sizeof vis);
	int hh=0, tt=-1;
	q[++tt]=S, vis[S]=true, lim[S]=INF;
	
	while(tt>=hh){
		int hd=q[hh++];
		for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
			int go=e[i].to;
			if(vis[go] || !e[i].c) continue;
			vis[go]=true, q[++tt]=go;
			lim[go]=min(lim[hd], e[i].c);
			pre[go]=i;
			if(go==T) return true;
		}
	}
	return false;
}

int EK(){
	int res=0;
	while(bfs()){
		res+=lim[T];
		for(int i=T; i!=S; i=e[pre[i]^1].to){
			e[pre[i]].c-=lim[T], e[pre[i]^1].c+=lim[T];
		}
	}
	return res;
}
int main(){
	memset(h, -1, sizeof h);
	cin>>n>>m>>S>>T;
	while(m--){
		int u, v, c; cin>>u>>v>>c;
		add(u, v, c);
	}	
	cout<<EK()<<endl;
	return 0;
}

多路增广：dinic算法
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define gc() (st==ed&&(ed=(st=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),st==ed)?EOF:*st++)
char buf[100001],*st=buf,*ed=buf;
void read(int &a){
    a=0;char c=gc();
    while(c>'9'||c<'0')c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9')a=a*10+c-48,c=gc();
}

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=10010, M=1e5+5;

struct node{
    int to, c, next;
}e[M<<1];
int h[N], tot;

void add(int u, int v, int cap){
    e[tot].to=v, e[tot].c=cap, e[tot].next=h[u], h[u]=tot++;
    e[tot].to=u, e[tot].c=0, e[tot].next=h[v], h[v]=tot++;  
}

int n, m, S, T;

int d[N], q[N], cur[N];

bool bfs(){
    memset(d, -1, sizeof d);
    int tt=-1, hh=0;
    q[++tt]=S, d[S]=0, cur[S]=h[S];

    while(tt>=hh){
        int hd=q[hh++];
        for(int i=h[hd]; ~i; i=e[i].next){
            int go=e[i].to;
            if(d[go]==-1 && e[i].c){
                d[go]=d[hd]+1;
                cur[go]=h[go];
                if(go==T) return true;
                q[++tt]=go;
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit){
    if(u==T) return limit;
    int flow=0;
    for(int i=cur[u]; ~i && flow<limit; i=e[i].next){
        cur[u]=i;
        int go=e[i].to;
        if(d[go]==d[u]+1 && e[i].c){
            int t=find(go, min(e[i].c, limit-flow));
            if(!t) d[go]=-1;
            e[i].c-=t, e[i^1].c+=t, flow+=t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic(){
    int res=0, flow;
    while(bfs()) while(flow=find(S, INF)) res+=flow;
    return res;
}

int main(){
    memset(h, -1, sizeof h);
    read(n), read(m), read(S), read(T);
    while(m--){
        int u, v, cap; read(u), read(v), read(cap);
        add(u, v, cap);
    }

    cout<<dinic()<<endl;

    return 0;
}