【数论】莫比乌斯反演

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莫比乌斯函数
莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

首先，我们先介绍一下莫比乌斯函数 (mu(x))

设 (x) 质因数分解式为：(x = prod_{i=1}^k p_i^{alpha_i})

[mu(x)= egin{cases} 0& exists alpha_i geqslant 2 \ (-1)^k& forall alpha_i = 1 end{cases}]

记 (s(n) = sum_{d|n}mu(d)) ，我们有：

[s(n) = egin{cases} 1& n=1\ 0& n>1 end{cases}]

证明：
(n=1) 时结论平凡。
下考虑 (n>1) 的情况，设 (d) 的质因数分解式 (d = prod_{i=1}^k p_i^{alpha_i}) 。
当 (alpha_i > 1) 时，由莫比乌斯函数性质可知 (d=0) 。
而当 (alpha_i = 1) 时，必然能够从 (n) 的因数中找到对应的 (d') 使得 (d') 分解式中与 (d) 的唯一区别为 (alpha_i = 0) ，那么由莫比乌斯函数性质可知它们的贡献和为 (0) ，因此 (s(n) = 0) 。

莫比乌斯反演

先给出结论：

• 结论 1：若 (F(n) = sum_{d|n}f(d)) ，则 (f(n) = sum_{d|n}mu(d)F(frac{n}{d}))

• 结论 2：若 (F(n) = sum_{n|d}f(d)) ，则 (f(n) = sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d))

结论 1 证明：
(sum_{d|n}mu(d)F(frac{n}{d}) \= sum_{d|n}mu(d)sum_{i|frac{ n}{d}}f(i) \ = sum_{i|n}f(i)sum_{d|frac{n}{i}}mu(d) \=f(n))

结论 2 证明：
(sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)\= sum_{n|d}mu(frac{d}{n})sum_{d|i}f(i)\stackrel{d'=frac{d}{n}}{=} sum_{n|i}f(i)sum_{d'|frac{i}{n}}mu(d') \=f(n))

结论 2 用得比较多。