【概率论】期望

期望

随机变量的期望

期望通常记为 \(\mu\)。

离散型随机变量期望

设 \(X\) 是满足频率函数为 \(p(x)\) 的随机变量，若 \(\sum_i |x_i|p(x_i)<\infty\)，那么 \(X\) 的期望

\[E(x) = \sum_i x_i p(x_i) \]

连续型随机变量期望

定义类似，设 \(X\) 是满足密度函数为 \(f(x)\) 的随机变量，若 \(\int |x|f(x)dx<\infty\)，那么 \(X\) 的期望

\[E(x) = \int x f(x)dx \]

积分发散时无定义，同理上述离散型中和式发散时无定义。

柯西密度

柯西分布 \(f(x) = \frac{1}{\pi(x^2+1)}\)，看似 \(E(X)=0\)，但因为 \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{|x|}{\pi(x^2+1)}dx\) 是发散的，因此不存在期望。

马尔可夫不等式

如果随机变量 \(X\)​ 满足 \(P(X\geq 0) = 1\)​，则有 \(P(X\geq t)\leq \frac{E(X)}{t}\)​。

证明（离散形式）：

\[\begin{aligned} E(X) &= \sum_{x<t}xp(x) + \sum_{x\geq t}xp(x)\\ &\geq \sum_{x\geq t}xp(x)\\ &\geq \sum_{x\geq t}tp(x)\\ &=tP(X\geq t) \end{aligned} \]

连续形式类似。

随机变量函数的期望

设 \(Y=g(X)\)。

离散形式：\(E(Y) = \sum g(x)p(x)\)

连续形式：\(E(Y) = \int g(x)f(x) dx\)

对离散形式的证明：

约定 \(A_i\) 表示满足 \(g(x) = y_i\) 的 \(x\) 构成的集合。

\[\begin{aligned} E(Y) &= \sum y p_Y(y)\\ &= \sum_i y_i \sum_{x\in{A_i}}p(x) \\ &= \sum g(x)p(x) \end{aligned} \]

推广：

设 \(Z=g(X, Y)\)​，如果 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} |g(x, y)|f(x, y)dxdy < \infty\)​，那么有 \(E(Z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y)f(x, y)dxdy\)​

随机变量线性组合的期望

若 \(X_i\) 是具有期望 \(E(X_i)\) 的联合分布随机变量，\(Y\) 是 \(X_i\) 的线性函数，\(Y=a+\sum_{i=1}^n b_iX_i\)，则

\[E(Y) = a+\sum_{i=1}^n b_iE(X_i) \]

上述定理的应用

• 直接计算二项频率函数的期望 \(E(Y)\) 是复杂的，我们将 \(Y\) 拆成伯努利随机变量 \(X_i\) 的和，\(X_i\) 代表第 \(i\) 个试验成功与否（成功取 \(1\)，反之取 \(0\)​）。

  那么 \(E(Y) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = np\)。

方差和标准差

随机变量的期望可以看作是密度或频率函数的中心。而标准差描述关于中心的发散程度。

方差 & 标准差定义

如果随机变量 \(X\) 具有期望 \(E(X)\)，那么方差为：

\[Var(X) = E\{[X-E(X)]^2\} = E[(X-\mu)^2] \]

\(X\)​​​ 的标准差为方差的平方根。

方差通常记为 \(\sigma ^ 2\)，标准差记为 \(\sigma\)。

方差离散形式：\(Var(X) = \sum_i p(x_i)(x_i-\mu)^2\)

方差连续形式：\(Var(X) = \int f(x)(x-\mu)^2dx\)

定理

• 若 \(E(X)\)​​ 存在， \(Y=b+aX\)​​，那么 \(Var(Y) = a^2 Var(X)\)​​。

证明：

\[\begin{aligned} Var(Y) &= E[(Y-E(Y))^2] \\ &= E[(b+aX-E(b+aX))^2] \\ &= E[(b+aX-aE(X)-b)^2] \\ &= a^2 E[(X-E(X))^2] \\ &= a^2 Var(X) \end{aligned} \]

• 若 \(E(X)\)​ 存在，\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)​，即 \(Var(X) = E(X^2) - \mu^2\)​​。

证明：

\[\begin{aligned} Var(X) &= E[(X-\mu)^2]=E(X^2 - 2\mu X + \mu ^2) \\ &= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2 \\ &= E(X^2)-\mu^2 \end{aligned} \]

• （切比雪夫不等式）令 \(X\) 是均值为 \(\mu\) 方差为 \(\sigma^2\) 的随机变量，则 \(\forall t>0\)，有

  \[P(|X-\mu|>t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2} \]

  证明：

  \(Y = (X-\mu)^2\)​，那么 \(E(Y) = \sigma^2\)​，只需证明 \(P(Y > t^2) \leq \frac{E(Y)}{t^2}\)​，这正是马尔可夫不等式。​

协方差 & 相关系数

方差是随机变量变异性的度量，两个随机变量的协方差是它们联合变异性的度量。

协方差定义

如果 \(X,Y\) 是分别具有期望 \(\mu_X,\mu_Y\) 的随机变量，则 \(X,Y\) 的协方差是：

\[Cov(X, Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \]

另一种表述形式是

\[Cov(X, Y) = E(XY)-E(X)E(Y) \]

推导：

\[\begin{aligned} Cov(X, Y) &= E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \\ &= E(XY - \mu_XY-X\mu_Y + \mu_X\mu_Y) \\ &= E(XY) - \mu_Y E(X) - \mu_XE(Y) + \mu_X\mu_Y \\ & = E(XY)-E(X)E(Y) \end{aligned} \]

如果 \(X,Y\) 独立，我们有 \(E(XY) = E(X)E(Y)\)，因此 \(Cov(X,Y)=0\)，但是反过来却不一定成立。

另外，我们有 \(Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)\)。

推导：

\[\begin{aligned} Var(X+Y) &= E[((X+Y)-E(X+Y))^2] \\ &= E\{[(X-\mu_X) + (Y-\mu_Y)]^2\} \\ &= Var(X) + Var(Y) +2Cov(X, Y) \end{aligned} \]

从这个结论中可知，当 \(X,Y\) 独立时，\(Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)\)

协方差性质

均可由期望的性质简单地推出。

• \(\forall a,b\)，有 \(Cov(aX, bY) = abCov(X, Y)\)。

• \(Cov(X_1+X_2,Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)\)

X,Y 不相关意味着 \(Cov(X,Y) = 0.\)

相关系数定义

如果 \(X,Y\)​ 的方差和协方差都存在，且方差非 \(0\)​，那么 \(X,Y\)​ 的相关系数记为 \(\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)​​

\(\rho_{XY}\) 刻画 \(X,Y\) 的关系：

\(min_{a,b}E[(Y-(aX+b))^2] = E[(Y-(a_0X+b_0))^2] = D(Y)(1-\rho^2)\)

条件期望

定义

在给定 \(X = x\)​ 的条件下，\(Y\)​ 的条件期望是：

\[E(Y|X=x) = \sum_y yp_{Y|X}(y|x) \]

连续情形：

\[E(Y|X=x) = \int yf_{Y|X}(y|x)dx \]

\(h(y)\) 相应的条件期望为：

\[E(h(Y)|X=x) = \sum_y h(y)p_{Y|X}(y|x) \]

假设对于 \(X\)​ 范围内的任意 \(X=x\)​ 时 \(Y\) 的期望均存在，那么它（条件期望）是 \(X\) 的函数，因此它是随机变量。只要相应的和式/积分收敛，那么它就具有期望 \(E[E(Y|X)]\)​​ 和方差。

定理

• \(E(Y) = E[E(Y|X)]\)​

  这个定理告诉我们求 \(Y\) 的期望值可以通过先以 \(X\) 为条件，计算出 \(E(Y|X)\)，再将其关于 \(X\) 求平均值（期望）得到。

  证明：

  我们需要得到 \(E(Y) = \sum_x E(Y|X=x)p(x)\)​​​。

  \(E(Y|X=x) = \sum_y yp_Y(y|x)\)​，

  因此 \(\sum_x E(Y|X=x)p(x) = \sum_y y \sum_x p_{Y|X}(y|x)p_X(x)\)

  利用全概率公式 \(p_Y(y) = p_{Y|X}(y|x)p_{X}(x)\)

  故有 \(\sum_x E(Y|X=x)p(x) = \sum_y y \sum_x p_{Y|X}(y|x)p_X(x) = \sum_y yp_Y(y) = E(Y)\)

• \(Var(Y) = Var(E(Y|X)) + E(Var(Y|X))\)。（证明待补）