同余

同余

定义：设m是一个正整数，设a，b是两个整数，则a(equiv)b (mod m)，当且仅当 m | (a-b)，称a, b模m同余。
换句话说，a, b模m同余当且仅当a, b用欧几里得除法除以m得到的余数相等。

同余的保运算性：设m是一个正整数，设(a_1,b_1,a_2,b_2)有：
(a_1equiv b_1)(mod m)
(a_2equiv b_2)(mod m)，则：
(a_1+a_2equiv b_1+b_2)(mod m)
(a_1cdot a_2equiv b_1cdot b_2)(mod m)

同余的性质：
设m是一个正整数，设(dcdot aequiv dcdot b) (mod m)，如果(d, m)=1，则a(equiv)b (mod m)

设m是一个正整数，设a(equiv)b (mod m)，d > 0，则(dcdot aequiv dcdot b) (mod m)

设m是一个正整数，设a(equiv)b (mod m)，如果d(mid)m，则a(equiv)b (mod d)

设(m_1,cdots, m_k)是k个正整数，设a(equiv)b (mod (m_i)) 其中(i=1cdots k)，
则a(equiv)b (mod[(m_1,cdots m_k)])

剩余类

设m是一个正整数，对任意整数a，令
(C_a=lbrace c|cin Z, cequiv a (modspace m) brace)，则不难证明：
i.任意一个整数必然包含在一个(C_r)中，(0le rle m)
ii.(C_a=C_b)的充分必要条件是：a(equiv)b (mod m)
iii.(C_a)与(C_b)的交集非空的充分必要条件是：a( e)b (mod m)

Notation：(C_a)叫做模m的a的剩余类，一个剩余类中的任意一个数叫做该类的剩余或代表元。

完全剩余系

若(r_0, cdots r_{m-1})是m个整数，并且其中人恶化两个数都不在同一个剩余类里，则称(r_0,cdots r_{m-1})为模 m 的一个完全剩余系。

完全剩余系的性质：
设m是一个正整数，a是满足(a, m)=1的整数，b是任意一个整数，若集合k是遍历模m的一个完全剩余系，则ak+b也是遍历模m的一个完全剩余系。

设(m_1, m_2)是两个互素的正整数，若(k_1, k_2)分别遍历模(m_1, m_2)的完全剩余系，则(m_2k_1+m_1k_2)是遍历模(m_1·m_2)的一个完全剩余系。

证明.
要证明(m_2k_1+m_1k_2)是遍历模(m_1m_2)的一个完全剩余系，只需要证明(m_2k_1+m_1k_2)中的任意两个数不同余
反证法：设存在正整数(k_1,k_2)和(k_1', k_2')满足：
(m_2k_1+m_1k_2equiv m_2k_1'+m_1k_2') (mod (m_1m_2))
则由同余的性质可以得到：
(m_2k_1+m_1k_2equiv m_2k_1'+m_1k_2') (mod (m_1))
(m_2k_1equiv m_2k_1') (mod (m_1))
( herefore m_1mid (m_2k_1-m_2k_1'))
(m_1mid m_2(k_1-k_1'))
(ecause (m_1,m_2)=1)
( herefore m_1mid (k_1-k_1'))
( herefore k_1equiv k_1') (mod (m_1))
同理可得(k_2equiv k_2') (mod (m_2))
这与一个完全剩余系中的任意两个数不同余的事实相反

简化剩余系

简化剩余系就是把一个模m的完全剩余系中与m互素的数挑出来组成一个新的剩余系，称为简化剩余系。
形式化的定义就是设m是一个正整数，若(r_1,cdots, r_t)是t个与m互素的正整数且两两模m不同余，则(r_1,cdots, r_t)是模m的一个简化剩余系。

简化剩余系的性质：
设m是一个正整数，a是满足(a,m)=1的整数，如果k是遍历模m的一个简化剩余系，则(acdot k)也是遍历模m的简化剩余系

设(m_1,m_2)是两个互素的正整数，如果(k_1,k_2)分别遍历模(m_1)和模(m_2)的简化剩余系，则(m_2k_1+m_1k_2)也是遍历模(m_1cdot m_2)的简化剩余系

欧拉函数

设m是一个正整数，则m个整数(1,cdots,m-1,m)中与m互素的整数的个数，记作(varphi(m))，叫做欧拉函数
欧拉函数的性质：
1）显然，当m是一个素数的时候(varphi(m)=m-1)

2）设m, n是互素的两个正整数，则(varphi(mcdot n)=varphi(m)cdotvarphi(n))

3）对于素数幂(m=p^a)有：
(varphi(m)=p^a-p^{a-1}=p^a(1-frac{1}{p}))

证明.
将(1,2,cdots p^a)划分成(p^{a-1})份长度为p的数组，则每个数组可以按照剩余系的概念等价于(1,2,cdots p)
而(1,2,cdots p)中，只有p与p不互素，那么也只有p与(p^a)不互素
( herefore 1,2,cdots, p^a)中与(p^a)不互素的整数个数为:
(varphi(p^a)=p^a-p^{a-1}=p^a(1-frac{1}{p}))

欧拉定理

设m是大于1的整数，如果a是满足(a,m)=1的整数，则(a^{varphi(m)}equiv 1(modspace m))

证明.
设(r_1,r_2,cdots r_{varphi(m)})是模m的一个最小简化剩余系
(ecause (a,m)=1)
( herefore ar_1,ar_2,cdots ar_{varphi(m)})也是模m的一个简化剩余系
( herefore ar_1cdot ar_2cdots ar_{varphi(m)}equiv r_1cdot r_2cdots r_{varphi(m)}) (mod m)
(a^{varphi(m)}r_1cdot r_2cdots r_{varphi(m)}equiv r_1cdot r_2cdots r_{varphi(m)}) (mod m)
((a^{varphi(m)}-1)r_1cdot r_2cdots r_{varphi(m)}equiv 0) (mod m)
又(ecause r_1,r_2,cdots r_{varphi(m)})是模m的最小简化剩余系
( herefore (r_1,m)=(r_2,m)=cdots=(r_{varphi(m)},m)=1)
((r_1cdot r_2cdots r_{varphi(m)},m)=1)
( herefore a^{varphi(m)}-1equiv 0)(mod m)
(a^{varphi(m)}equiv 1)(mod m)

费马小定理

设p是一个素数，则对任意整数a，有
(a^pequiv a) (mod p)

证明.
i)若(a,p) ( e) 1
(ecause)p是素数
( herefore pmid a)
即a(equiv) 0 (mod p)
(a^pequiv) 0 (mod p)
(a^pequiv aequiv) 0 (mod m)
ii)若(a,p) = 1
(ecause)p是素数
( hereforevarphi(p)=p-1)
由欧拉定理知(a^{varphi(m)}equiv 1) (mod p)
(a^{p-1}equiv) 1 (mod p)
(a^pequiv) a (mod p)

Wilson定理

设p是一个素数，则(p-1)! (equiv) -1 (mod p)

想要证明上面的定理需要先证明另一个定理：设m是一个正整数，a是满足(a,m)=1的整数，则存在唯一的整数a'，1 (le) a'<m，使得a·a' (equiv) 1 (mod m)

证明.
存在性：设(r_1,r_2,cdots ,r_{varphi(m)})是模m的一个最小简化剩余系
(ecause (a,m)=1)
( herefore ar_1,ar_2,cdots ar_{varphi(m)})也是模m的一个简化剩余系
显然，模m的简化剩余系中必然存在(ar_n equiv) 1 (mod m)
唯一性：假设模m的最小简化剩余系中有a', a'', 1 (le) a',a''<m 使得
a·a' (equiv) 1 (mod m)
a·a'' (equiv) 1 (mod m)，则
a(a'-a'') (equiv) 0 (mod m)
a'-a'' (equiv) 0 (mod m)
a' (equiv) a'' (mod m)

有了上述的定理后，可以开始证明Wilson定理：

证明.
设p是一个素数，则任意1 (le) a < p，存在唯一的1 (le) a' < p
使得a·a' (equiv) 1 (mod p)
而a=a'的充要条件是(a^2equiv) 1 (mod m)
则a=1或a=p-1
( herefore (p-1)!equiv1cdot2cdots (p-1)equiv1cdot(p-1)Pi acdot a')
(equiv1(p-1)equiv(-1)) (mod m)

模重复平方计算

问题：如何计算 (b^n) (mod m)其中n是一个大的整数。
由于n是一个大整数，所以无法直接通过欧几里得除法计算(b^n)模m的余数

首先可以通过欧拉定理将n缩小成一个小于(varphi(m))的整数
如果(b^n)还是大到无法直接计算，那么就采用下面的方法进行计算：
将n写成一个二进制形式，即：
(n=n_0+n_1cdot 2+n_2cdot 2^2+cdots +n_{k-1}2^{k-1})
由科学计数法的性质可知(n_{k-1})必然等于1
令整数a=1
1.如果(n_0=1)，则(a_0equiv(acdot b)) (mod m)，否则(a_0equiv a) (mod m)
令(b_1equiv b^2) (mod m)
2.如果(n_1=1)，则(a_1equiv(a_0cdot b_1)) (mod m)，否则(a_1equiv a_0) (mod m)
令(b_2equiv b_1^2) (mod m)
(cdots)
k.因为(n_{k-1}=1)，所以(a_{k-1}equiv (a_{k-2}cdot b_{k-1})) (mod m)

最终(b^nequiv a_{k-1}) (mod m)