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  • P2822 组合数问题

    P2822 组合数问题

    • 标签:NOIp提高组 2016 云端↑
    • 难度: 普及+/提高
    • 时空限制: 1s / 512MB

    题目描述

    组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子,从(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义,我们可以给出计算组合数的一般公式:

    其中n! = 1 × 2 × · · · × n

    小葱想知道如果给定n,m和k,对于所有的0 <= i <= n,0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。

    输入输出格式

    输入格式:

    第一行有两个整数t,k,其中t代表该测试点总共有多少组测试数据,k的意义见 【问题描述】。

    接下来t行每行两个整数n,m,其中n,m的意义见【问题描述】。

    输出格式:

    t行,每行一个整数代表答案。

    输入输出样例

    输入样例#1:
    1 2
    3 3
    输出样例#1:
    1
    输入样例#2:
    2 5
    4 5
    6 7
    输出样例#2:
    0
    7
    

    说明

    【样例1说明】

    在所有可能的情况中,只有是2的倍数。

    【子任务】

    思路分析:

    这个题第一反应50分稳了。打打暴力折腾50分出来。n=1的点AC其他TLE...

    样例一好像没什么用处。。。所以看看样例二能搞出什么东西来。

    手推一下样例二:

    egin{matrix}
    C^0_0&&&&&\
    C^0_1&C^1_1&&&&\
    C^0_2&C^1_2&C^2_2&&&\
    C^0_3&C^1_3&C^2_3&C^3_3&&\
    C^0_4&C^1_4&C^2_4&C^3_4&C^4_4&\
    C^0_5&C^1_5&C^2_5&C^3_5&C^4_5&C^5_5
    end{matrix}

    套一下公式。

    忽略m或n等于0的情况,这个时候组合数无意义。

    结合上面的矩阵(无意义处为-1,实际上不必初始化这些位置,保持默认的0即可):

    egin{matrix}
     -1&0&0&0&0&0&0\
     -1&1&0&0&0&0&0\
     -1&2&1&0&0&0&0\
     -1&3&3&1&0&0&0\
     -1&4&6&4&1&0&0\
     -1&5&10&10&5&1&0\
     -1&6&15&20&15&6&1
    end{matrix}

    容易看出这是一个杨辉三角。杨辉三角的一般递推式:

    egin{equation*}f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]end{equation*}

    杨辉三角的初始化:

    egin{equation*}f[i][1]=i,f[i][i]=1end{equation*}

    依上建立状态转移方程。

    直接求会爆掉long long,所以边求边模。

    状态转移方程$f[i][j]=(f[i-1][j-1] mod k+f[i-1][j] mod k) mod k$

    这样就求出组合中的每一项了。问题解决了一半。

    第二步,统计。

    两个for循环,统计一下有矩阵中有多少项为0即可。仍然是dp。

    新开一个ans数组,if(!table[i][j])ans[i][j]=ans[i][j-1]+1;else ans[i][j]=ans[i][j-1];

    这样,我们就可以做到$O(n)$的查询了。好像还有$O(1)$的方法,然而看不懂。

     1 #include<cstdio>
     2 using namespace std;
     3 long long table[2005][2005];
     4 long long ans[2005][2005];
     5 int t,k,n,m,a;
     6 int main()
     7 {
     8     scanf("%d%d",&t,&k);
     9     for(int i=1;i<=2000;i++)
    10         table[i][i]=1,table[i][1]=i%k;
    11     for(int i=2;i<=2000;i++)
    12         for(int j=2;j<=i-1;j++)
    13             table[i][j]=(table[i-1][j-1]%k+table[i-1][j]%k)%k;
    14     for(int i=1;i<=2000;i++)
    15         for(int j=1;j<=i;j++)
    16             if(!table[i][j])
    17                 ans[i][j]=ans[i][j-1]+1;
    18             else
    19                 ans[i][j]=ans[i][j-1];
    20     for(int i=1;i<=t;i++)
    21     {
    22         scanf("%d%d",&n,&m);
    23         a=0;
    24         for(int i=1;i<=n;i++)
    25             if(i>m)
    26                 a+=ans[i][m];
    27             else
    28                 a+=ans[i][i];
    29         printf("%lld
    ",a);
    30     }
    31     return 0;
    32 }
    Code
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/TheRoadToAu/p/7190526.html
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