- 标签:NOIp提高组 2016 云端↑
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题目描述
组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子,从(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义,我们可以给出计算组合数的一般公式:
其中n! = 1 × 2 × · · · × n
小葱想知道如果给定n,m和k,对于所有的0 <= i <= n,0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。
输入输出格式
输入格式:第一行有两个整数t,k,其中t代表该测试点总共有多少组测试数据,k的意义见 【问题描述】。
接下来t行每行两个整数n,m,其中n,m的意义见【问题描述】。
输出格式:t行,每行一个整数代表答案。
输入输出样例
1 2 3 3
1
2 5 4 5 6 7
0 7
说明
【样例1说明】
在所有可能的情况中,只有是2的倍数。
【子任务】
思路分析:
这个题第一反应50分稳了。打打暴力折腾50分出来。n=1的点AC其他TLE...
样例一好像没什么用处。。。所以看看样例二能搞出什么东西来。
手推一下样例二:
egin{matrix}
C^0_0&&&&&\
C^0_1&C^1_1&&&&\
C^0_2&C^1_2&C^2_2&&&\
C^0_3&C^1_3&C^2_3&C^3_3&&\
C^0_4&C^1_4&C^2_4&C^3_4&C^4_4&\
C^0_5&C^1_5&C^2_5&C^3_5&C^4_5&C^5_5
end{matrix}
套一下公式。
忽略m或n等于0的情况,这个时候组合数无意义。
结合上面的矩阵(无意义处为-1,实际上不必初始化这些位置,保持默认的0即可):
egin{matrix}
-1&0&0&0&0&0&0\
-1&1&0&0&0&0&0\
-1&2&1&0&0&0&0\
-1&3&3&1&0&0&0\
-1&4&6&4&1&0&0\
-1&5&10&10&5&1&0\
-1&6&15&20&15&6&1
end{matrix}
容易看出这是一个杨辉三角。杨辉三角的一般递推式:
egin{equation*}f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]end{equation*}
杨辉三角的初始化:
egin{equation*}f[i][1]=i,f[i][i]=1end{equation*}
依上建立状态转移方程。
直接求会爆掉long long,所以边求边膜模。
状态转移方程$f[i][j]=(f[i-1][j-1] mod k+f[i-1][j] mod k) mod k$
这样就求出组合中的每一项了。问题解决了一半。
第二步,统计。
两个for循环,统计一下有矩阵中有多少项为0即可。仍然是dp。
新开一个ans数组,if(!table[i][j])ans[i][j]=ans[i][j-1]+1;else ans[i][j]=ans[i][j-1];
这样,我们就可以做到$O(n)$的查询了。好像还有$O(1)$的方法,然而看不懂。
1 #include<cstdio> 2 using namespace std; 3 long long table[2005][2005]; 4 long long ans[2005][2005]; 5 int t,k,n,m,a; 6 int main() 7 { 8 scanf("%d%d",&t,&k); 9 for(int i=1;i<=2000;i++) 10 table[i][i]=1,table[i][1]=i%k; 11 for(int i=2;i<=2000;i++) 12 for(int j=2;j<=i-1;j++) 13 table[i][j]=(table[i-1][j-1]%k+table[i-1][j]%k)%k; 14 for(int i=1;i<=2000;i++) 15 for(int j=1;j<=i;j++) 16 if(!table[i][j]) 17 ans[i][j]=ans[i][j-1]+1; 18 else 19 ans[i][j]=ans[i][j-1]; 20 for(int i=1;i<=t;i++) 21 { 22 scanf("%d%d",&n,&m); 23 a=0; 24 for(int i=1;i<=n;i++) 25 if(i>m) 26 a+=ans[i][m]; 27 else 28 a+=ans[i][i]; 29 printf("%lld ",a); 30 } 31 return 0; 32 }