欧拉函数模板

一、单个欧拉函数计算

可评测链接：http://codevs.cn/problem/4939/

单个欧拉函数计算公式：φ（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）*……*（1-1/pn）

Step 1：

一边分解质因数一边算，时间复杂度O（n）

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,ans;
int main()
{
    while(1)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if(!n) break;
        ans=n;
        for(long long i=2;i<=n;i++)
         if(n%i==0)
         {
             while(n%i==0) n/=i;
             ans=ans/i*(i-1);
         }
        printf("%lld
",ans);
    }
}

Step 2 :

性质：合数至少有一个不大于不大于根号n的素因子

所以循环只需循环到根号n即可 时间复杂度 O(根号n)

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,ans;
int main()
{
    while(1)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if(!n) break;
        ans=n;
        for(long long i=2;i*i<=n;i++)
         if(n%i==0)
         {
             while(n%i==0) n/=i;
             ans=ans/i*(i-1);
         }
        if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
        printf("%lld
",ans);
    }
}

Step 3：

素数除了2之外都是奇数，

所以单独处理2，然后之枚举根号n以内的奇数

时间复杂度 O[（根号n）/2]

#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    long long n,ans;
    while(1)
    {
        scanf("%lld",&n);
        if(!n) return 0;
        ans=n;
        if(n%2==0)
        {
            while(n%2==0) n/=2;
            ans=ans/2;
        }
        for(long long i=3;i*i<=n;i+=2)
           if(n%i==0)
            {
                while(n%i==0) n/=i;
                ans=ans/i*(i-1);
            }
        if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
        printf("%lld
",ans);
    }
}

二、欧拉筛

欧拉筛可以快速求[1,n]内所有数的欧拉函数，所以在涉及欧拉函数求和时会使用

 利用性质：

如果i%p==0，那么φ（i*p）=φ（i）*p

如果i%p！=0，那么 φ（i*p）=φ（i）*（p-1）   其中p为质数

代码为求2——n的欧拉函数之和

评测链接：http://poj.org/problem?id=2478

时间复杂度：O（n）

#include<cstdio>
#define N 1000001 
using namespace std;
bool check[N];
int prime[N],cnt,phi[N],a;
long long sum[N];
void euler()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N) break;
            check[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    euler();
    for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]+=sum[i-1]+1ll*phi[i];
    while(1)
    {
        scanf("%d",&a);
        if(!a) return 0;
        printf("%lld
",sum[a]-1);
    }
}

三、埃氏筛法

埃氏筛法可以O（1）查询i是否与n互质，在涉及 查询与n互质的数是什么 时 会使用

时间复杂度：O（nlog²n）

下方代码为求与n互质的第k个数

评测链接：http://poj.org/problem?id=2773

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
bool check[1000001];
int euler(int n)//埃氏筛法模板 
{
    int m=int(sqrt(n+0.5));
    int ans=n,k=n;
    memset(check,0,sizeof(check));
    for(int i=2;i<=m;i++)
     if(n%i==0)
     {
         ans=ans/i*(i-1);
         for(int j=1;i*j<=k;j++)
          check[i*j]=true;
         while(n%i==0) n/=i;
     }
    if(n>1)
    {
        ans=ans/n*(n-1);
        for(int j=1;n*j<=k;j++) 
         check[n*j]=true;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int m,k,ans,cnt,t,i;
    while(scanf("%d%d",&m,&k)!=EOF)
    {
        ans=euler(m);
        cnt=0;
        if(k%ans==0) t=k/ans-1;
        else t=k/ans;
        k=k-ans*t;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            if(!check[i]) cnt++;
            if(cnt==k) break;
        }
        printf("%d
",i+m*t);
    }
}