NOI Online 3 题解

今天考了 (NOI Online 3) ，感觉很奇怪。

(T1) 就是个很 (NC) 的贪心，随便写写就过了。

(T2) 考试的时候竟然没有想出来，有点没懂，感觉很简单的啊，只拿了暴力 (70) 分走人。

(T3) 出题人毕老爷再世？基本和 吉夫特 这题一模一样，直接 (3^{log_2 val}) 就可以艹过去，而且跑的蛮快，然后各位神仙们写的子集卷积有点卡常？感觉不是很懂。

(T1)

假设我们最后选择的是第 (i) 个瓶子，那么第 (i+1sim n) 个瓶子是没法对它产生贡献的。

由于 (A_i) 是非负的，所以我们考虑让尽可能多的瓶子对答案产生贡献。

然后可以发现，和 (i) 的距离大于 (k) 的瓶子没法产生贡献（没法走到 (i) ），其余的，我们从距离为 (k) 的点开始，直接一带一路，可以发现都能对答案产生贡献。

所以我们求一个前缀和，每个位置的答案就是 (sum_i - sum_{max(0,i-k-1)}) 。

所有位置的答案取个 (max) 就是我们要求的结果。

(T2)

我们定义一个 (a imes b) 的矩阵 (A) 和一个 (b imes c) 的矩阵 (B) 相乘，得到一个 (a imes c) 的矩阵 (C) ，其中 (C) 满足：

[C_{i,j} = oplus_{k=1}^{b} A_{i,k} imes B_{k,j} ]

我们设 (E) 为该图的邻接矩阵，其大小为 (n imes n) 。

我们再设 (G) 为 (1 imes n) 的矩阵，其中 (G_{1,i}) 表示第 (i) 个点的初始答案。

那么显然，进行了 (k) 次操作以后，答案就是 (G imes E^k) 。

然后我们就得到了一个暴力的做法：每次直接快速幂求出 (E^k) ，时间复杂度为 (O(qn^3log k)) 。

这东西显然是过不去的，考虑优化。

我们先求出所有的 (E^{2^i}) ，这一部分的时间复杂度为 (O(n^3log k)) 。然后对 (k) 进行二进制拆分，每次将 (G) 乘上一个 (E^{2^i}) 。由于 (G) 是 (1 imes n) 的，所以每次乘时间复杂度为 (O(n^2)) ，最多乘上 (log k) 次，所以单次查询时间复杂度为 (O(n^2log k)) 。

所以总复杂度降为 (O(n^3log k + qn^2log k)) ，可以通过全部的测试点。

(T3)

考虑优秀子序列的限制是什么。

可以发现，如果存在某一位，满足子序列中有至少 (2) 个值该位为 (1) ，那么一定是不合法的。

所以一个优秀子序列，一定是满足每一位至多有一个数为 (1) 。

我们设 (f_T) 表示有多少个优秀子序列所有数的异或和为 (T) （容易发现它们的和此时也为 (T) ）。

我们枚举每一个数作为子序列的结尾，考虑怎么转移。可以发现此时转移到的 (T) 一定是 (val_i) 的超集，转移方程为：

[f_T += f_{Toplus val_i} ]

最后的答案就是 (sum_{T} f_T imes varphi(1 + T)) ，由于 (varnothing) 没有被纳入考虑，所以我们还要在加上 (1) 。

设 (k = log_2^{mx\_val}) ，那么直接这样做是可以被卡到 (n2^k) 的。

我们考虑将相同的数合并起来，那么转移方程就变为了：

[f_T += f_{Toplus val_i} imes cnt_{val_i} ]

需要注意的是，当 (val_i=0) 时，我们需要单独处理，此时 (f_0 = 2^{cnt}-1) ，同时 (f_T,T>0) 需要乘上 (2^{cnt}) 。

此时的时间复杂度就变成了 (3^k) ，实测在卡满的情况下，只需要 (1s) 即可。

关于时间复杂度的证明

我们优化后，总的计算量为： (sum_{i=0}^k inom{n}{i} 2^{n-i}) 。

然后这东西根据二项式定理可知为 (3^k) 。