二叉树

01 二叉树的性质

• 在二叉树的第n层上最多有2^n-1个结点
• 深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点(k>=1)
• 对于任何一个二叉树T,度为0的结点数为n₀,度为2的结点数为n₂ 则n₀=n₂+1

　　解释:有n个结点的二叉树,除了根节点,其他每个结点都对应一条连线.所以由 n-1条线. 而度为2的对应两条连线,度为1的对应1条连线.所以 n-1 =n2*2+n1.

　　　　n个结点包括度分别为0,1,2的结点.所以n =n1+n2+n0  综合两个公式得出  n0 = n2+1

• 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log₂ⁿ]+1 ([x]表示不大于x的最大整数

• 如果有一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点i（1<=i<=n）有

  如果i=1，则节点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲节点为[i/2]，向下取整

  如果2i>n那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为2i

  如果2i+1>n那么节点没有右孩子，否则右孩子为2i+1

02代码实现(C语言实现)

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include <stdlib.h>

typedef char ElemType;

//定义二叉树结点
typedef struct BtNode {
    ElemType data;
    struct BtNode *lchild, *rchild;
}BtNode, *BTree;


//创建二叉树.使用#表示结点为空
void CreateBTree(BTree &BT) {
    ElemType data;
    scanf_s("%c", &data);
    if (data == '#') {
        BT = NULL;
    }
    else
    {
        BT = (BTree)malloc(sizeof(BtNode));
        BT->data = data;
        CreateBTree(BT->lchild);
        CreateBTree(BT->rchild);
    }
}

//访问结点并输出
void visit(BTree bt)
{
    if (bt->data != NULL)
    {
        printf("%2c", bt->data);
    }
}
//前序遍历
void PreNode(BTree bt)
{
    if (bt != NULL)
    {
        visit(bt);
        PreNode(bt->lchild);
        PreNode(bt->rchild);
    }
}
//中序遍历
void InNode(BTree bt)
{
    if (bt != NULL)
    {
        InNode(bt->lchild);
        visit(bt);
        InNode(bt->rchild);
    }
}
//后序遍历
void LastNode(BTree bt)
{
    if (bt != NULL)
    {
        LastNode(bt->lchild);
        LastNode(bt->rchild);
        visit(bt);
    }
}
//树的深度
int  len_tree(BTree bt) {
    int dl, dr, len;
    if (bt == NULL)
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        dl = len_tree(bt->lchild);
        dr = len_tree(bt->rchild);
        len = (dl >= dr) ? dl : dr;
        return len + 1;
    }
}
//度为2的结点数
int leaf_2(BTree bt)
{
    if (bt == NULL) return 0;
    if (bt->lchild->data != NULL && bt->rchild->data != NULL)
    {
        return 1;
    }

    return leaf_2(bt->lchild) + leaf_2(bt->rchild);
}
//度为0的结点数
int leaf_0(BTree bt)
{
    if (bt == NULL) return 0;
    if (bt->lchild == NULL && bt->rchild == NULL)
    {
        return 1;
    }

    return leaf_0(bt->lchild) + leaf_0(bt->rchild);
}
int main()
{
    BTree bt;
    printf("先序建立一棵二叉树:
");
    CreateBTree(bt);

    printf("前序遍历:
");
    PreNode(bt);
    printf("
中序遍历:
");
    InNode(bt);
    printf("
后序遍历:
");
    LastNode(bt);

    printf("
二叉树的深度：%d
", len_tree(bt));
    printf("
二叉树度为2的结点：%d
", leaf_2(bt));
    printf("
二叉树度为0的结点：%d
", leaf_0(bt));
    system("pause");

}