CXXXIII.[HDU6094]Rikka with K-Match
依旧wqs二分。
首先，依据我们之前提到过的一个性质，“凡是可以表示成费用流模型的东西都有凹凸性”，本题也不例外，关于匹配个数的函数是凹的。
凹的就可以wqs二分。于是问题转换为最小权任意匹配。因为 \(m\) 只有 \(4\)，使用轮廓线DP即可在 \(O(nm2^m)\) 时间内解决问题。
需要注意的是本题二分的边界。或许会认为仅仅是 \(10^9\) 就行了，但考虑一条长度为 \(nm\) 的 \(1\) 与 \(10^9\) 交错的链，且链的开头结尾都是 \(10^9\)，就会发现最后一条边的斜率是 \(10^9\times nm\) 级别的。于是要把边界开到 \(10^{14}\)，这样能保证不爆 long long，同时还能求出答案。
时间复杂度 \(O(nm2^m\log 10^{14})\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m,q,X[40100][4],Y[40100][4],F[40100][4][1<<4],G[40100][4][1<<4],lim;
ll f[40100][4][1<<4];
void chmn(int i,int j,int k,int K,ll bon,bool mat){
int I=i-!j,J=(!j?m:j)-1;
if(f[i][j][k]>f[I][J][K]+bon)f[i][j][k]=f[I][J][K]+bon,F[i][j][k]=F[I][J][K]+mat,G[i][j][k]=G[I][J][K]+mat;
else if(f[i][j][k]==f[I][J][K]+bon)F[i][j][k]=min(F[i][j][k],F[I][J][K]+mat),G[i][j][k]=max(G[i][j][k],G[I][J][K]+mat);
}
int che(ll ip){
// printf("%d\n",ip);
for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<m;j++){
if(!i&&!j){for(int k=0;k<lim;k++)f[i][j][k]=0;continue;}
for(int k=0;k<lim;k++)f[i][j][k]=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
for(int k=0;k<lim;k++){
if(i&&!(k&(1<<j)))chmn(i,j,k|(1<<j),k,X[i][j]-ip,true);
if(j&&!(k&(1<<(j-1))))chmn(i,j,k|(1<<(j-1))|(1<<j),k,Y[i][j]-ip,true);
chmn(i,j,k&(lim-1-(1<<j)),k,0,false);
}
}
ll mn=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
for(int k=0;k<lim;k++)mn=min(mn,f[n-1][m-1][k]);
int L=0x3f3f3f3f,R=0;
for(int k=0;k<lim;k++)if(mn==f[n-1][m-1][k])L=min(L,F[n-1][m-1][k]),R=max(R,G[n-1][m-1][k]);
if(L>q)return -1;
if(R<q)return 1;
printf("%lld\n",mn+ip*q);
return 0;
}
void read(int &x){
x=0;
char c=getchar();
while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
}
int main(){
read(T);
while(T--){
read(n),read(m),read(q),lim=1<<m;
for(int i=1;i<n;i++)for(int j=0;j<m;j++)read(X[i][j]);
for(int i=0;i<n;i++)for(int j=1;j<m;j++)read(Y[i][j]);
ll l=0,r=1e14,mid;
while(true){
int tp=che(mid=(l+r)>>1);
if(tp==-1)r=mid-1;
if(tp==1)l=mid+1;
if(!tp)break;
}
}
return 0;
}