[AGC038E] Gachapon

VI.[AGC038E] Gachapon

因为模型同III.重返现世长得很像，所以我们也来考虑minmax容斥。

首先，我们仍然翻出式子

[max(mathbb S)=sumlimits_{mathbb{Tsubseteq S}}(-1)^{|mathbb T|+1}min(mathbb T) ]

然后，我们考虑计算 ( ext E(minmathbb T))。

我们发现，对于某个 (mathbb T)，它的 (min) 的实际意义是其中一个元素率先全部被生成。而当该元素被生成完时，其它 (mathbb T) 中元素生成的数量都不能达到 (b_i)。因此这启发我们要枚举结束时 (mathbb T) 中每个元素被生成的数量。设此数组为 ({c})。

我们发现，由 (mathbb T) 来推出所有合法的 ({c}) 是困难的，但是由 ({c}) 来反推 (mathbb T) 则是简单的——因为在处理 ({c}) 的时候肯定顺手就把 (mathbb T) 的位置给记录了。于是我们考虑给定了一个 ({c})，计算其作为其对应的 (mathbb T) 的终止状态的概率。

首先，我们考虑令 (a') 表示那个率先被全部生成的数的 (a)。显然，(c'=b')，但是因为钦定了最后一个生成的数是 (a')，因此我们令 (c') 强制减一，这样现在所有 (c) 中元素间顺序便可以任意调换。

考虑恰好生成 (c) 中所有元素的概率，是

[dfrac{prod a^c}{(sum a)^{sum c}} ]

但是，因为元素间有序，所以还要乘上多项式系数

[dfrac{(sum c)!}{prod c!} ]

同时，别忘记最后一个生成的数必须是 (a')，因此还有

[dfrac{a'}{sum a} ]

考虑生成此种情形期望需要生成多少个数：因为期望 (dfrac{S}{sum a})（依照题面，有定义 (S=sumlimits_{i=0}^{n-1}a_i)）次会摇到一个来自 (mathbb T) 中的元素，所以期望 ((sum c+1) imesdfrac S{sum a}) 次就能摇全。

所有东西怼一块，得到

[(sum c+1) imesdfrac S{sum a} imesdfrac{prod a^c}{(sum a)^{sum c}} imesdfrac{(sum c)!}{prod c!} imesdfrac{a'}{sum a} ]

稍微整理一下，把与单个的 (a) 和 (sum a) 有关的拆开来放

[S imesdfrac{(sum c+1) imes(sum c)!}{(sum a)^{sum c+2}} imesdfrac{prod a^c imes a'}{prod c!} ]

最开头的是常数，中间一个分数是与 (sum c,sum a) 有关的东西，最后一坨是与单个的 (a) 与 (c) 有关的东西。

于是我们考虑DP。设 (f_{i,j,k,odd,0/1}) 表示当前DP到位置 (i)，(sum c=j,sum a=k)，(|mathbb T|) 的奇偶性为 (odd)，且 (a') 未/已被决定。

转移分两种：确定 (a') 的转移和不确定 (a') 的转移。确定 (a') 的转移就强制你有 (c=b-1)（注意到我们之前已经令 (c') 强制减一了），不确定 (a') 的转移，可以枚举 (cin[0,b))。

乍一看，(i,j,k) 三维都是 (400)，剩下两维都是常数，但还要枚举一个 (c)，这不是 (400^4) 的吗？

一开始我也苦恼了很久，但后来想到 (i) 维和 (c) 维加在一块等于 (sum b=400)，因此实际是 (400^3) 的。

注意将一些共同的东西提前算出可以减少常数。

代码：

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int mod=998244353;
int ksm(int x,int y=mod-2){int z=1;for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(y&1)z=1ll*z*x%mod;return z;}
int n,a[410],b[410],A,B,f[410][410][2][2],fac[410],inv[410],res;
void ADD(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i],&b[i]),A+=a[i],B+=b[i];
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=B;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[B]=ksm(fac[B]);for(int i=B;i;i--)inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
//	for(int i=0;i<=B;i++)printf("%d ",fac[i]);puts("");
//	for(int i=0;i<=B;i++)printf("%d ",inv[i]);puts("");
	f[0][0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int tmp=1ll*ksm(a[i],b[i]-1)*inv[b[i]-1]%mod*a[i]%mod;
		for(int j=B;j>=0;j--)for(int k=A;k>=0;k--)for(int odd=0;odd<2;odd++){
	//		if(f[j][k][odd][0])printf("(%d,%d,%d,%d,%d):%d
",i-1,j,k,odd,0,f[j][k][odd][0]);
	//		if(f[j][k][odd][1])printf("(%d,%d,%d,%d,%d):%d
",i-1,j,k,odd,1,f[j][k][odd][1]);
			if(f[j][k][odd][0]){
	//			printf("%d %d %d %d
",f[j][k][odd][0],ksm(a[i],b[i]-1),inv[b[i]-1],a[i]);
				ADD(f[j+b[i]-1][k+a[i]][odd^1][1],1ll*f[j][k][odd][0]*tmp%mod);
				for(int l=0,m=1;l<b[i];l++,m=1ll*m*a[i]%mod)ADD(f[j+l][k+a[i]][odd^1][0],1ll*f[j][k][odd][0]*m%mod*inv[l]%mod);
			}
			if(f[j][k][odd][1])for(int l=0,m=1;l<b[i];l++,m=1ll*m*a[i]%mod)ADD(f[j+l][k+a[i]][odd^1][1],1ll*f[j][k][odd][1]*m%mod*inv[l]%mod);
		}	
	}
	for(int j=0;j<=B;j++)for(int k=1;k<=A;k++)for(int odd=0;odd<2;odd++){
		int tmp=1ll*f[j][k][odd][1]*(j+1)%mod*A%mod*ksm(ksm(k,j+2))%mod*fac[j]%mod;
//		printf("%d,%d,%d:%d
",j,k,odd,tmp);
//		printf("%d %d %d %d %d
",f[j][k][odd][1],(j+1),A,ksm(ksm(k,j+2)),fac[j]);
		if(odd&1)(res+=tmp)%=mod;else (res+=mod-tmp)%=mod;
	}
	printf("%d
",res);
	return 0;
}