引入：
给一个完全积性函数$f$，求其前缀和
$$S(n)=sum_{i=1}^nf(i)$$
初步思考：
考虑由于所求函数为完全积性函数，我们很容易用一个线性筛在$O(n)$的时间负责度内解决问题。
但是往往这类问题要求更加优秀的时间负责度，那么线筛便不能满足我们的需要，我们需要更加优秀的做法。
我们考虑一种最基础的筛法：埃拉托斯特尼筛法。
在这种筛法的思路中，我们只需要枚举$sqrt n$以内的质数，那么我们是否可以引入这种想法呢？
进一步思考：
我们考虑将$S(n)=sum_{i=1}^n f(i)$换成与质数有关的表达形式。
我们设$ au(x) = x的最大质因子$。
那么
$$S(n) = sum _{i=2}^nsum_{ au(i)<p,i*p<=n}f(ip) + sum_{i=2}^nf(i)[ au^2(i)|i] + f(1) + sum_{p=2}^n f(p)$$
$$ecause forall a,b; f(ab)=f(a)f(b)$$
$$ herefore S(n)=sum_{i=2}^nf(i)sum_{ au(i)<p,ip<=n,p== au (p)}f(p)+sum_{i=2}^nf(i)[ au^2(i)|i]+f(1)+sum_{p=2}^nf(p)$$
我们来看这个式子。
我们发现前两部分枚举的$i$所含质数$p$必然$p<=sqrt n$。
那么我们使用DFS来枚举这些$i$会发现枚举量为:$$n-sum_{i=sqrt n+1,i= au(i)}^n lfloor frac{n}{i} floor$$
这个式子我并不会算……
但是通过张博航的博客，这个式子的结果是约等为$frac{n^{frac{3}{4}}}{ln n}$存在一定的常数。
思考算法设计：
那么问题就变成了如何去求$sum_{ au(i)<p,ip<=n}f(p)$以及$sum_{p=2,p= au(p)}f(p)$。
我们发现后者其实是可以看作于前者是一类的。
那么设$S'(n)=sum_{p=2,p= au(p)}f(p)$，即上式为$S'(frac{n}{i})-S'( au(i))$来表示的。
由于除法分块我们可以知道$lfloor frac{n}{i} floor$取值仅有$sqrt n$级别个，同时$ au(i) <=sqrt n$。
那么我们设$$a_i = S'(i),b_i=S'(frac{n}{i}),ileqslant sqrt n$$
那么考虑如何求出$S'$。
我们先将所有数都看做质数，那么此后我们从小到大枚举一个每个小于$sqrt n$的质数$p$，那么
$$S'(i)=S'(i)-f(p)(S'(frac{i}{p})-S'(p-1))$$
考虑用数学归纳法证明：
首先当$p==2$时，此式显然得到的是去掉所有含“2”因子的合数。
那么设此式在之前质数中都是正确的，此时枚举到了$p$。同时设$zeta i = i的最小质因数$
那么我们考虑此时
$S'(x)=sum_{i=2,i= au(p),i<p}f(p) + sum_{i=p}^x [zeta(i)>=p]f(i)$
那么
$f(p)(S'(frac{i}{p})-S'(p-1) )= sum_{j=p}^{frac{i}{p}} [zeta(i)>=p] f(i*p)$
即此时我们给$S'(i)$删去了所含质因数均大于等于$p$的合数。故上式当处理到$sqrt n$时是正确的。
我们再考虑如何求出$a,b$数组。
显然我们要从小到大枚举每个质数，再从大到小枚举每一个有用的$i$。然后考虑：
1) 若$i>sqrt n$那么其对应位置一定在$b$数组出现过。
2) 若$frac{i}{p}>sqrt n$那么其对应位置也必然在$b$中出现，这是由于$i$是由$frac {n} {j}$得到的。
那么$frac{i}{p}$就等价于$lfloor frac{ frac{n}{j} }{p} floor= frac {n} {jp}$显然$jp<=sqrt n$ 那么其此时$frac{i}{p}$一定在b中出现过。
3） 若$i<=sqrt n$ 那么其必然出现在$a$中，$frac{i}{p}$同理。
也就是说对于用每个$p$来更新$a,b$需要且仅需要$a,b$数组。
考虑求$a,b$的时间复杂度约为：
$ sum_{i=2,i= au i} (2sqrt n - i^2) $。
这个东西，应该约为$frac {2n^frac{3}{4}} {3ln(sqrt n)}$。考虑枚举第一部分$i$具有常数。这两部分应该是很接近的。
算法使用范围：
假设我们可以将一个函数写成关于$p$的$k$阶多项式形式的话，我们就可以利用上面描述的筛法，在$kfrac{n^frac{3}{4}}{lnn}$时间内得到答案。
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这个似乎和min_25筛很像？