【BZOJ】【3240】【NOI2013】矩阵游戏

十进制快速幂+矩阵乘法+常数优化

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　　听说这题还可以强行算出来递推式……然后乘乘除除算出来……

　　然而蒟蒻选择了一个比较暴力的做法= =

　　我们发现这个递推的过程是线性的，所以可以用矩阵乘法来表示，$x=a*x+b$这样一个递推式我们可以这样表示：$$egin{bmatrix} x& 1 end{bmatrix} * egin{bmatrix} a& 0 \ b& 1 end{bmatrix} $$

　　那么我们可以令$s_1$表示×a+b，$s_2$表示×c+d，那么我们有$$ans=v * ( ({s_1}^{n-1}*s_2)^{m-1} * {s_1}^{n-1} )$$

　　然而直接算我给TLE了……

　　

　　下面说一下常数优化：

　　我们注意到矩阵乘法的时候有：$$egin{bmatrix} a& 0 \ b& 1 end{bmatrix} * egin{bmatrix} c& 0 \ d& 1 end{bmatrix} = egin{bmatrix} a*c& 0 \ a*d+b& 1 end{bmatrix}$$

　　也就是说：第二列的0和1是一直不动的……那么我们可以将大部分$O(n^3)$的矩阵乘法过程优化到$O(n^2)$。

　　这里我们${s_1}^{n-1}$出现了两次，那么我们可以用一个中间变量先存下来，可以减少一次运算（毕竟整个算法的主要部分就是在算这几个power）

/**************************************************************
    Problem: 3240
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:7980 ms
    Memory:3232 kb
****************************************************************/
 
//BZOJ 3240
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
inline int getint(){
    int v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*sign;
}
const int N=1e6+10,INF=~0u>>2,P=1e9+7;
typedef long long LL;
/******************tamplate*********************/
 
struct Matrix{
    int v[2][2];
    Matrix(int x=0){F(i,0,1)F(j,0,1)if(i==j)v[i][j]=x;else v[i][j]=0;}
    int* operator [] (int x){return v[x];}
}s1,s2,v;
inline Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
    Matrix c;
    if (a[0][1]==0 && a[1][1]==1 && b[0][1]==0 && b[1][1]==1){
        c[0][0]=(LL)a[0][0]*b[0][0]%P;
        c[0][1]=0;
        c[1][0]=((LL)a[0][0]*b[1][0]+(LL)a[1][0])%P;
        c[1][1]=1;
        return c;
    }
    F(k,0,1) F(i,0,1) F(j,0,1)
        c[i][j]=((LL)c[i][j]+(LL)a[i][k]*b[k][j]%P)%P;
    return c;
}
inline Matrix Pow(Matrix a,int b){
    Matrix c(1);
    F(i,1,b) c=c*a;
    return c;
}
inline Matrix Power(Matrix a,char* s){
    Matrix r(1); int l=strlen(s);
    D(i,l-1,0){
        if (s[i]-'0') r=r*Pow(a,s[i]-'0');
        a=Pow(a,10);
    }
    return r;
}
char n[N],m[N];
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("3240.in","r",stdin);
    freopen("3240.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%s",n); scanf("%s",m);
    int l1=strlen(n)-1;
    while(n[l1]=='0') n[l1--]='9';
    n[l1]--;
    l1=strlen(m)-1;
    while(m[l1]=='0') m[l1--]='9';
    m[l1]--;
//  printf("%s %s
",n,m);
    int a,b,c,d;
    a=getint(); b=getint(); c=getint(); d=getint();
    v[0][0]=v[0][1]=1; v[1][0]=v[1][1]=0;
    s1[0][0]=a; s1[0][1]=0; s1[1][0]=b; s1[1][1]=1;
    s2[0][0]=c; s2[0][1]=0; s2[1][0]=d; s2[1][1]=1;
    Matrix s3=Power(s1,m);
    v=v*(Power(s3*s2,n)*s3);
    printf("%d
",v[0][0]);
    return 0;
}

3240: [Noi2013]矩阵游戏

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MB
Submit: 890  Solved: 390
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Description

婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:

F[1][1]=1
F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)
F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)
递推式中a,b,c,d都是给定的常数。

现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。

Input

一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述

Output

包含一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数

Sample Input

3 4 1 3 2 6

Sample Output

85

HINT

样例中的矩阵为：

1 4 7 10

26 29 32 35

76 79 82 85

1<=N,M<=10^1000 000,a<=a,b,c,d<=10^9

Source

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