最短路径(二维矩阵)

题目
给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有路径中最小的路径和。
例子：
给定m如下：
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0
路径1,3,1,0,6,1,0是所有路径中路径和最小的，所以返回12。

解法1

思路：

使用动态规划，定义 dp[M][N] , M ,N 分别代表矩阵的行和列数 dp[i][j] 表示从左上角到矩阵（i，j）位置是的最短路径和。则可知 到（i，j）位置有两种情况：1）由（i-1，j）向下走，2）由（i，j-1）向右走，所以dp[i][j]=Math.min（dp[i-1][j],dp[i][j-1]）+m[i][j];对于dp[0][j] 只能由 dp[0][j-1] 向右走，dp[i][0] 只能由 dp[i-1][0] 向下走。所以 dp[0][j]=dp[0][j-1]+m[0][j], dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0].

代码：

package com.ch.evaluation.TestJava;

/**
 * @Auther: 011336
 * @Date: 2019/4/10 14:24
 */
public class ShortestRoad {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[][] = new int[][]{{1,3,5,9},{8,1,3,4},{5,0,6,1},{8,8,4,0}};
        int shortNum = getRoad(arr);
        System.out.println(shortNum);
    }
    public static int getRoad(int arr[][])
    {
        int dp[][]=new int [arr.length][arr[0].length];
        dp[0][0]=arr[0][0];
        for(int i=1;i<arr.length;i++)
        {
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+arr[i][0];
            //第一列只能由上向下
        }
        for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
        {
            dp[0][j]=dp[0][j-1]+arr[0][j];
            //第一行只能由左向右
        }
        for(int i=1;i<arr.length;i++) {
            for (int j = 1; j < arr[0].length; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + arr[i][j];
            }
        }

        return dp[arr.length-1][arr[0].length-1];
    }
}

解法2（优化解法1）

思路：
解法1中使用dp数组的空间大小为M*N，其实可以对dp数组的空间压缩至N，定义大小为N的dp数组，对于第一行，dp[i]=dp[i-1]+m[0][i],在求第二行中的 dp[i] 时可以覆盖第一行 dp[i] ,第二行dp[i]=Math.min（dp[i],dp[i-1]）+m[i][j]。

代码

public static int shortestRoad1(int arr[][])
    {
        int dp[]=new int[arr[0].length];
        dp[0]=arr[0][0];
        for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
        {
            dp[j]=dp[j-1]+arr[0][j];
            //求出第一行的dp
        }
        for(int i=1;i<arr.length;i++)
        {
            dp[0]=arr[i][0]+dp[0];
            //dp[0]代表每一行最左边的dp，
            //后一行的dp覆盖前一行的dp
            for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
            {
                dp[j]=Math.min(dp[j-1]+arr[i][j], dp[j]+arr[i][j]);
            }
        }               
        return dp[arr[0].length-1];
    }