【题解】CF773D Perishable Roads

Statement

Problem Link

给定一个 (n) 点的无向完全图，有边权。对于每个 (iin [1,n]) ，求以 (i) 为根节点的生成树中，最小的 (sum d(x)) 是多少。

定义 (d(x)) ：(x) 到根节点所有边中权值最小的一条

Solution

不愧是 tourist （这场比赛里）最喜欢的题啊……

由于代价是取 (min) 的，考虑找最小的边权。如果这条边已经被连到了根，那么剩下的点直接连向这个点即可（完全图）。

设最小的边为 (edmn) ，易知最优解（或之一）的上面部分一定是一条根到 (edmn) 两个端点之一的链。

由于这个东西是个完全图，而且代价是取 (min) 的，所以其实链下面的部分是树是链完全没有关系（因为代价已经被 (edmn) 给确定了），形态不重要。下面直接将最优解所选择的边当成链来处理。

那么把所有边权减去 (edmn) ，最后再加上 ((n-1) imes edmn) ，不影响答案。

现在设这个最优解的路径为 (w_1,dots,w_{n-1}) .令 (k) 为路径上标号最小的、边权为 0 的边（ 也就是最小的 (k) 满足 (w_k=0) ）

有结论： 对于所有的 (ileq k-3) ，有 (w_i>w_{i+1})

Proof

（看了半天才懂……）

假设现在有这样一条路径，(M) 是根节点，(G) 是令 (w_k=0) 的节点。

此处 (w_{CD}) 不满足上面的性质。那么可以将其替换如下：

(x) 是新的边权。设原来 (Msim C) 的最小值为 (t) ，那么减少贡献为：

[delta =calc(D)+calc(E)=min(w_{CD},t)+min(w_{DE},w_{CD},t)\ ecause w_{CD}>t,w_{DE}<w_{CD}\ herefore min{(w_{CD},t)}=t,min(w_{DE},w_{CD},t)=min(w_{DE},t)\ delta=t+min(w_{DE},t) ]

增加的贡献是：

[Delta =calc(F')-calc(F)=min(w_{CF},t)-w_{DE}<t<t+min(w_{DE},t) ]

那么就有：

[delta>Delta ]

所以这样替换过后，贡献一定会减少，就不符合最优解的前提了。

Q.E.D.

有了这个结论事情就简单多了。除了最后两条边，其他边的贡献（由于递增）就是边权，可以建一个超级源点 (S) ，对于所有 0 边的端点连 0 边权的边，（当然要加上原图中的所有边）直接跑最短路。

现在来讨论 (k-2leq ileq k-1) 的情况。

• (w_{k-2}>w_{k-1}) 。那么情况就等同于整条路径符合上面的结论，直接按原先的边权跑最短路即可，无需特殊处理。
• (w_{k-2}leq w_{k-1}) 。设当前的路径是这样的：A---(k-2)----B----(k-1)----C---0---- ，那么显然，这样的路径中，我们先走到 (A) ，然后通过两条路径走到 0 边的一个端点 (C) ，（根据前面的结论，(w_i) 显然都比 (w_{k-2}) 大，所以不用考虑）代价是 (2 imes w_{k-2}) .那么就在之前的基础上再加上一条 (S,i) 之间，(min{dis[i][j] imes 2}) 的边即可（注意，需要满足 (i eq j) 且 (i,j) 均不是 0 边端点，相当于在枚举 (w_{k-2}) ）。

那么这样就做完了。

妙啊。不愧是 tourist 。

顺便一说，Dijkstra 就直接朴素的好了，反正之前的操作已经 (mathcal{O}(n^2)) 了

Code

//Author: RingweEH
const ll inf=1e16;
const int N=2010;
struct edge
{
    int to,nxt; ll val;
}e[N*N<<1];
int tot=0,head[N],n,S;
bool tag[N],vis[N];
ll mp[N][N],dis[N],mn[N];

void add( int u,int v,ll w )
{
    e[++tot].to=v; e[tot].val=w; e[tot].nxt=head[u]; head[u]=tot;
}

int main()
{
    n=read(); S=n+1; ll edmn=inf;
    for ( int i=1; i<n; i++ )
        for ( int j=i+1; j<=n; j++ )
            mp[j][i]=mp[i][j]=read(),edmn=min( edmn,mp[i][j] );
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        for ( int j=1; j<=n; j++ )
            if ( i^j )
            {
                mp[i][j]-=edmn; add( i,j,mp[i][j] ); 
                if ( !mp[i][j] ) tag[i]=1,add( S,i,0 );
            }
    memset( mn,0x7f,sizeof(mn) );
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        for ( int j=1; j<=n; j++ )
            if ( (!tag[i]) && (!tag[j]) && (i^j) ) mn[i]=min( mn[i],mp[i][j]*2ll );
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        add( S,i,mn[i] );
    memset( dis,0x3f,sizeof(dis) ); dis[S]=0;
    for ( int j=1; j<=n; j++ )
    {
        ll mnval=inf; int mnpos=0;
        for ( int i=1; i<=n+1; i++ )
            if ( !vis[i] && dis[i]<mnval ) mnval=dis[i],mnpos=i;
        vis[mnpos]=1;
        for ( int i=head[mnpos]; i; i=e[i].nxt )
            dis[e[i].to]=min( dis[e[i].to],dis[mnpos]+e[i].val );
    }

    ll addval=(n-1)*edmn;
    for ( int i=1; i<=n; i++ )
        printf( "%lld
",dis[i]+addval );
    
    return 0;
}