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  • 【算法学习笔记】前缀和与差分

    前缀和与差分

    本篇博客适合初学者阅读,如有不周之处,欢迎各位大佬指正!

    • 0.背景

    想象一下,你有一个数组( 很长很长de那种 )你需要求出给定一段区间的和,并有多次询问,作为初学者你是否要\(\boxed{for}\)循环把他们都加起来呢?

    • 1.正文

    前缀和

    前缀和是一个数列A通过递推能够求出来的信息之一,顾名思义就是某个数前面所有单元数值之和。他的公式如下

    \[S_i=\sum\limits_{j=1}^iA_j \]

    对于给定数列A,我们可以通过如下代码实现前缀和

    
    for(rg int i=1;i<=n;i++){
    	S[i]=S[i-1]+A[i]
    }
    
    

    代码中的 \(S[i]=S[i-1]+A[i]\) 就是前缀和的递推式

    一个问题:如果我们想要求一个区间$ [l,r]$的和,我们应该如何实现?

    图示

    由于\(S\)代表数列\(A\)的前缀和,我们想要求一个闭区间的和只需要去掉\(l\)之前的所有部分就行了

    \[ans=\sum\limits_{i=l}^rA_i=S_r-s_{l-1} \]

    所以我们就求出了\([l,r]\)的和

    差分

    对于一个给定数列\(A\),它的差分数列\(C\)定义为

    \[B_i=A_i-A_{i-1}\text{ } (2\leq i\leq n) \]

    差分可以看做前缀和的逆运算

    你可以认为\(\boxed{\text{前缀和数列}}\)\(\boxed{\text{差分数列}}\)就是\(\boxed{\text{原数列}}\)\(\boxed{\text{差分数列}}\)\(\boxed{\text{前缀和数列}}\)也是\(\boxed{\text{原数列}}\)

    利用差分,我们可以区间多次以\(O(1)\)复杂度区间修改一个数组

    实现方法:

    我们将原数组想象为高度不同的一片高楼(如下图)

    //未完待续

    $To\ boldly\ go\ where\ no\ one\ has\ gone\ before$
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/UssEnterprise/p/12085229.html
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