[kuangbin带你飞]专题十二 基础DP1L

L - Common Subsequence POJ - 1458

题目链接：https://vjudge.net/contest/68966#problem/L

题目：

给定序列的子序列是给定序列，其中省略了一些元素（可能没有）。给定序列X = <x1，x2，...，xm>另一个序列Z = <z1，z2，...，zk>是X的子序列，如果存在严格增加的序列<i1，i2，..对于所有j = 1,2，...，k，x ij = zj，X的索引，...，ik>。例如，Z = <a，b，f，c>是X = <a，b，c，f，b，c>的子序列，其索引序列<1,2,4,6>。给定两个序列X和Y，问题是找到X和Y的最大长度公共子序列的长度。
输入
    程序输入来自std输入。输入中的每个数据集包含两个表示给定序列的字符串。序列由任意数量的空格分隔。输入数据是正确的。
产量

Sample Input

abcfbc         abfcab
programming    contest 
abcd           mnp

Sample Output

4
2
0
思路：通过这个去看了下LCS：

LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共子序列。一个序列，如果是两个或多个已知序列的子序列，且是所有子序列中最长的，则为最长公共子序列。

比如，对于char x[]="aabcd";有顺序且相互相邻的aabc是其子序列，有顺序但是不相邻的abc也是其公共子序列。即，只要得出序列中各个元素属于所给出的数列，就是子序列。

再加上char y[]="12abcabcd";对比出才可以得出最长公共子序列abcd。

在两个字符串中，有些字符会一样，可以形成的子序列也有可能相等，因此，长度最长的相等子序列便是两者间的最长公共字序列，其长度可以使用动态规划来求。

以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}为例。

借用《算法导论》中的推导图：

创建 DP数组C[][];
　　

         图中的空白格子需要填上相应的数字（这个数字就是c[i][j]的定义，记录的LCS的长度值）。填的规则依据递归公式，简单来说：如果横竖（i,j）对应的两个元素相等，该格子的值 = c[i-1,j-1] + 1。如果不等，取c[i-1,j] 和 c[i,j-1]的最大值。首先初始化该表：

         

          然后，一行一行地从上往下填：

         

          S1的元素3 与 S2的元素3 相等，所以 c[2,1] = c[1,0] + 1。继续填充：

          

            S1的元素3 与 S2的元素5 不等，c[2,2] =max(c[1,2],c[2,1])，图中c[1,2] 和 c[2,1] 背景色为浅黄色。

            继续填充：

            

            

             

               中间几行填写规则不变，直接跳到最后一行：

              

                至此，该表填完。根据性质，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的长度，即为5。

得到公式

LCS代码如下（也是该题AC代码）：

//
// Created by hanyu on 2019/8/8.
//
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <set>
#include<math.h>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000+7;
#define MAX 0x3f3f3f3f
int main()
{
    char s[maxn],s1[maxn];
    int dp[maxn][maxn];
    while(~scanf("%s%s",s,s1))
    {
        int n=strlen(s);
        int n1=strlen(s1);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n1;j++)
            {
                if(s[i-1]==s1[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        printf("%d
",dp[n][n1]);
    }
    return 0;
}