平衡树

平衡树学习笔记

FHQ Treap

前置芝士

BST的性质:
根节点左子树的值均小于等于根节点，右子树的值均大于根节点 

例题

我们需要支持以下操作

split

inline void split(int now, int &x, int &y, int k){ //裂开 
	if(!now) return (void)(x = y = 0); //如果没有根即没有树可裂，x，y均为0 
	if(val[now] <= k){
		x = now; //如果根的值小于等于k则k要大于now左子树所有的值，所以把左子树裂开，让右子树接着裂 
		split(ch[now][1], ch[x][1], y, k);
	}else{
		y = now; //相反 
		split(ch[now][0], x, ch[y][0], k);
	}
	up(now);
	//裂开以后所有比k小的值均在x树上，比k大的值均在y树上 
} 

merge

inline void merge(int &now, int x, int y){
	if(!siz[x] or !siz[y]) return (void)(now = siz[x] ? x : y); //x 和 y 有一个空树的话直接返回不空树 
	if(key[x] < key[y]){ //当x的键值小于y的键值 ，让y和x的右子树并 
		now = x;
		merge(ch[now][1], ch[x][1], y); 
		up(now);
	}else{
		now = y;//相反 
		merge(ch[now][0], x, ch[y][0]);
		up(now);
	}
} 

delete

如何删除一个数num，很巧妙的方法

1.我们把root树以num为关键字裂开，此时x树上的值均小于等于num

2.我们再去裂x树，此时以num-1为关键字，则裂开的两个树中有一个树上的值均等于 num（我们设这颗树为z）

3.直接合并z的左右子树，此时已经把z的根节点移除

4.合并

inline void del(int num){ 
	split(root, x, y, num);
	split(x, x, z, num-1);
	merge(z, ch[z][0], ch[z][1]);
	merge(x, x, z);
	merge(root, x, y);
}

insert

很简单

inline void ins(int num){
	split(root, x, y, num);
	merge(x, x, new_node(num));
	merge(root, x, y);
}

kth

寻找第k排名的数

（暂时还不透彻，会补上注释的....汗）

inline int kth(int now, int k){ 
	while(1){
		if(k <= siz[ch[now][0]]){
			now = ch[now][0];
		}else{
			if(k == siz[ch[now][0]] + 1) return now;
			else{
				k -= siz[ch[now][0]] + 1;
				now = ch[now][1];
			}
		}
	}
}

rnk

num的排名就是所有小于num的数的数量+1，此时已经显然

inline int rnk(int num){
	split(root, x, y, num-1);
	int res = siz[x] + 1;
	merge(root, x, y);
	return res;
}

pre

前驱怎么找？

前驱是不是所有小于num的值里最大的值！

我们以num-1为关键字去把root树裂开，此时x树上的值是所有小于num的数，

我们再找x树里面排名为size[x]的数，是不是就是所有小于num的数里面最大的数？即前驱。

inline int pre(int num){ //找前驱 
	split(root, x, y, num-1);
	int res = val[kth(x,siz[x])];
	merge(root, x, y);
	return res;
}

nxt

后继怎么找...

后继是不是所有大于num的值里最小的值.....

我们以num为关键字去把root树裂开，此时y树上的值是所有大于num的数，

我们再找y树里面排名为1的数，是不是就是所有大于num的数里面最小的数？即后继。

inline int nxt(int num){
	split(root, x, y, num);
	int res = val[kth(y,1)];
	merge(root, x, y);
	return res;
}

总代码看不看无所谓的吧，反正就是并在一起了....

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;

struct Treap{
	int ch[maxn][2], val[maxn], key[maxn], siz[maxn];
	
	int sum, root, x, y, z, n; //sum记录节点编号 
	
	inline void up(int now){ //维护一下大小 
		siz[now] = siz[ch[now][0]] + siz[ch[now][1]] + 1; //它的大小就等于左右儿子大小的和+自己这个点 
	}
	inline int new_node(int num){ //新建一个点 
		siz[++sum] = 1; //新建一个树(点)，但大小为1 
		val[sum] = num; //值为num 
		key[sum] = rand(); //随机 
		return sum; //返回节点编号 
	}
	inline void split(int now, int &x, int &y, int k){ 
		if(!now) return (void)(x = y = 0);
		if(val[now] <= k){
			x = now;
			split(ch[now][1], ch[x][1], y, k);
		}else{
			y = now;
			split(ch[now][0], x, ch[y][0], k);
		}
		up(now);
	} 
	inline void merge(int &now, int x, int y){ 
		if(!siz[x] or !siz[y]) return (void)(now = siz[x] ? x : y);
		if(key[x] < key[y]){
			now = x;
			merge(ch[now][1], ch[x][1], y); 
			up(now);
		}else{
			now = y;
			merge(ch[now][0], x, ch[y][0]);
			up(now);
		}
	} 
	inline void del(int num){ 
		split(root, x, y, num);
		split(x, x, z, num-1);
		merge(z, ch[z][0], ch[z][1]);
		merge(x, x, z);
		merge(root, x, y);
	}
	inline void ins(int num){
		split(root, x, y, num);
		merge(x, x, new_node(num));
		merge(root, x, y);
	}
	inline int kth(int now, int k){
		while(1){
			if(k <= siz[ch[now][0]]){
				now = ch[now][0];
			}else{
				if(k == siz[ch[now][0]] + 1) return now;
				else{
					k -= siz[ch[now][0]] + 1;
					now = ch[now][1];
				}
			}
		}
	}
	inline int rnk(int num){
		split(root, x, y, num-1);
		int res = siz[x] + 1;
		merge(root, x, y);
		return res;
	}
	inline int pre(int num){
		split(root, x, y, num-1);
		int res = val[kth(x,siz[x])];
		merge(root, x, y);
		return res;
	}
	inline int nxt(int num){
		split(root, x, y, num);
		int res = val[kth(y,1)];
		merge(root, x, y);
		return res;
	}
	void main(){
		root = 0, x = y = z = 0;
		scanf("%d", &n);
		for(int i = 1, q, w; i <= n; i ++){
			scanf("%d%d", &q, &w);
			if(q == 1) ins(w);
			if(q == 2) del(w);
			if(q == 3) printf("%d
", rnk(w));
			if(q == 4) printf("%d
", val[kth(root,w)]);
			if(q == 5) printf("%d
", pre(w));
			if(q == 6) printf("%d
", nxt(w));
		}
	}
}FHQ;

signed main(){
	FHQ.main();
	return 0;
} 

Splay