二项式系数及扩展
对任意实数 $ n $ ，整数 $ k $ ，定义二项式系数
[dbinom{n}{k} = C_n^k =egin{cases} frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} & k≥1 \ 1 & k = 0 \ 0 & k < 0 \ end{cases}
]
由定义易证：
1、(帕斯卡公式)
[dbinom{n}{k}=dbinom{n-1}{k}+dbinom{n-1}{k-1}
]
2、(吸收公式)
[kdbinom{n}{k}=ndbinom{n-1}{k-1}
]
二项式定理
1、（二项式定理）设 $ n $ 是正整数，对于所有的 $ x $ 和 $ y $ ，有
[(x+y)^n=sum_{k=0}^{n}dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k
]
证明见高中教科书。
$ $
2、令 $ x=y=1 $ ，即得：
[dbinom{n}{0}+dbinom{n}{1}+...+dbinom{n}{n}=2^n
]
$ $
3、令 $ x=1,y=-1 $ ，即得：
[dbinom{n}{0}-dbinom{n}{1}+dbinom{n}{2}-...+(-1)^ndbinom{n}{n}=0
]
这说明在大小为 $ n $ 的集合 $ S $ 中，有偶数个元素的子集和有奇数个元素的子集均有 $ 2^{n-1}个 $
$ $
4、对任意正整数 $ n $ ，有恒等式:
[1dbinom{n}{1}+2dbinom{n}{2}+...+ndbinom{n}{n}=n2^{n-1}
]
下面给出证明：
[S=0dbinom{n}{0}+1dbinom{n}{1}+...+ndbinom{n}{n} \S=0dbinom{n}{n}+1dbinom{n}{n-1}+...+ndbinom{n}{0} \ herefore 2S=nleft[dbinom{n}{0}+dbinom{n}{1}+...+dbinom{n}{n}
ight] \ S=n2^{n-1}
]
$ $
5、对任意整数 $ n>=1 $ ，有恒等式
[n(n+1)2^{n-2}=sum_{k=1}^{n}k^2dbinom{n}{k}
]
可以用组合推理的形式给出证明：
假设现在要在 $ n $ 个人中选出 $ k $ 人做班委，并在其中选出一个班长和一个团委（可以兼任），这个方案数显然是 $ sum_{k=1}{n}k2 binom{n}{k} $
如果班长和团委是一个人，有 $ n2^{n-1} $ 种方案；如果是两个人，有 $ n(n-1)2^{n-2} $ 种方案，共有 $ n(n+1)2^{n-2} $ 种方案
两种计数方式的结果显然是相同的，这就证明了上面的恒等式。
$ $
6、对任意整数 $ n>1 $ ，有恒等式
[dbinom{n}{1}-2dbinom{n}{2}+3dbinom{n}{3}+...+(-1)^{n-1}ndbinom{n}{n}=0
]
下面给出证明：
[ecause (x-1)^n=dbinom{n}{0}-dbinom{n}{1}x+dbinom{n}{2}x^2...+ (-1)^ndbinom{n}{n}x^n
]
两边对 $ x $ 求导得：
[n(x-1)^{n-1}=-dbinom{n}{1}+2dbinom{n}{2}x-3dbinom{n}{3}x^2+...+(-1)^nndbinom{n}{n}x^{n-1}
]
代入 $ x=1 $ 知等式成立
$ $
7、对任意整数 $ n>=1 $ ，有恒等式
[1+frac{1}{2}dbinom{n}{1}+frac{1}{3}dbinom{n}{2}+...+frac{1}{n+1}dbinom{n}{n}=frac{2^{n+1}-1}{n+1}
]
下面给出证明：
[(x+1)^n=dbinom{n}{0}+dbinom{n}{1}x+dbinom{n}{2}x^2+...+dbinom{n}{n}x^n
]
求两边在 $ [0,1] $ 内的定积分即得上述等式。
$ $
8、（范德蒙卷积公式）对所有的正整数 $ m_1 $ , $ m_2 $ 和 $ n $ ，有恒等式
[sum_{k=0}^{n}dbinom{m_1}{k}dbinom{m_2}{n-k}=dbinom{m_1+m_2}{n}
]
作为特殊形式，有恒等式
[sum_{k=0}^{n}dbinom{n}{k}dbinom{n}{n-k}=dbinom{2n}{n}
]
下面给出证明：
考虑 $ (1+x)^{m_1+m_2} $ 的 $ x^n $ 项，它的系数为 $ binom{m_1+m_2}{n} $
考虑 $ (1+x){m_1}(1+x){m_2} $ 的 $ x^n $ 项，是对于所有 $ k≤n $ ，第一个式子的 $ x^k $ 项与第二个式子的 $ x^{n-k} $ 项的乘积，它的系数为 $ sum_{k=0}^{n}dbinom{m_1}{k}dbinom{m_2}{n-k} $
两者显然相等，故等式成立。
$ $
多项式定理
对正整数 $ n $ 和非负整数 $ n_1 ,n_2,...n_t $ 定义多项式系数
[dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}=frac{n!}{n_1!n_2!...n_t!}
]
可以帕斯卡公式扩展到多项式系数：
[dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}=dbinom{n-1}{n_1-1,n_2,...,n_t}+dbinom{n-1}{n_1,n_2-1,...,n_t}+...+dbinom{n-1}{n_1,n_2,...,n_t-1}
]
将二项式定理推广到多项式定理：
[(x_1+x_2+...+x_t)^n=sum_{n_1+n_2+...+n_t=n}dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}
]
证明都和二项的情况相同。
$ $
牛顿二项式定理
设 $ alpha $ 是实数。假设 $ abs(x) $ < $ abs(y) $ ,对于所有 $ x $ 和 $ y $ ，有
[(x+y)^{alpha}=sum_{k=0}^{infty}dbinom{alpha}{k}x^ky^{alpha-k}
]
其中
[dbinom{alpha}{k}=frac{alpha(alpha-1)...(alpha-k+1)}{k!}
]
设 $ z=x/y $ ，易知 $ abs(z) $ < 1，于是有
[(1+z)^{alpha}=sum_{k=0}^{infty}dbinom{alpha}{k}z^k
]
设 $ n $ 是正整数，令 $ alpha=-n $ ，则有
[dbinom{alpha}{k}=dbinom{-n}{k}=frac{-n(-n-1)...(-n-k+1)}{k}\ =(-1)^kfrac{n(n+1)...(n+k-1)}{k}=(-1)^kdbinom{n+k-1}{k}
]
因此当 $ abs(z) $ < 1有
[frac{1}{(1+z)^n}=sum_{k=0}^{infty}(-1)^kdbinom{n+k-1}{k}
]
用 $ -z $ 代替 $ z $ ，于是有
[frac{1}{(1-z)^n}=sum_{0}^{infty}dbinom{n+k-1}{k}
]
作为特殊情况，当 $ n=1 $ 时有
[frac{1}{1+z}=sum_{k=0}^{infty}(-1)^kz^k \ frac{1}{1-z}=sum_{k=0}^{infty}z^k
]
重要的二项式系数恒等式
1、（阶乘展开式）对整数 $ n>=k>=0 $ 有
[dbinom{n}{k}=frac{n!}{k!(n-k)!}
]
2、（对称恒等式）对整数 $ n>=0 $ ， $ k $ 是整数有
[dbinom{n}{k}=dbinom{n}{n-k}
]
3、（吸收恒等式）对整数 $ k≠0 $ 有
[kdbinom{r}{k}=rdbinom{r-1}{k-1}
]
4、（帕斯卡公式）对整数 $ k $ 有
[dbinom{r}{k}=dbinom{r-1}{k}+dbinom{r-1}{k-1}
]
5、（上指标反转）对整数 $ k $ 有
[dbinom{r}{k}=(-1)^kdbinom{k-r-1}{k}
]
6、（三项式版恒等式）对整数 $ m,k $ 有
[dbinom{r}{m}dbinom{m}{k}=dbinom{r}{k}dbinom{r-k}{m-k}
]
7、（牛顿二项式定理）当 $ abs(x) $ < $ abs(y) $ 或 $ alpha $ 为整数有
[(x+y)^{alpha}=sum_{k=0}^{infty}dbinom{alpha}{k}x^ky^{alpha-k}
]
8、（平行求和法）对整数 $ n $ 有
[sum_{k=0}^{n}dbinom{r+k}{k}=dbinom{r+n+1}{n}
]
9、（上指标求和法）对整数 $ n,m>=0 $ 有
[sum_{k=0}^{n}dbinom{k}{m}=dbinom{n+1}{m+1}
]
10、（范德蒙卷积公式）对整数 $ n $ 有
[sum_{k=0}^{n}dbinom{r}{k}dbinom{s}{n-k}=dbinom{r+s}{n}
]