Bresenham
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bresenham算法是计算机图形学中为了“显示器(屏幕或打印机)系由像素构成”的这个特性而设计出来的算法,使得在求直线各点的过程中全部以整数来运算,因而大幅度提升计算速度。
实现代码
这篇文章主要对下面的代码进行解释,如果能够理解下面的代码,完全可以跳过这篇文章。
// 来源:https://rosettacode.org/wiki/Bitmap/Bresenham%27s_line_algorithm#C
void line(int x0, int y0, int x1, int y1) {
int dx = abs(x1-x0), sx = x0<x1 ? 1 : -1;
int dy = abs(y1-y0), sy = y0<y1 ? 1 : -1;
int err = (dx>dy ? dx : -dy)/2, e2;
for(;;){
setPixel(x0,y0);
if (x0==x1 && y0==y1) break;
e2 = err;
if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }
if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }
}
}
直线方程
众所周知,最基本的斜截式直线方程为(y=kx+b(k为斜率, b为截距))。这个方程存在的缺点是无法表示直线(x=alpha),所以用一个新的方程来代替(Ax+By+C=0)。
Bresenham
Bresenham画直线的算法主要步骤是判断下一点的位置。维基百科中有一张图比较形象
图中,每一个点代表的是一个像素,假定我们有直线(f(x,y))且当前坐标为((x,y)),判断下一个点的y轴坐标步骤为(如果要确定x轴坐标也类似):
代码理解
如上面所述,我们现在能够判断直线的下一个像素点在那里了,但是Bresenham算法的优点还没有体现:我们还需要计算浮点数。为了避免浮点数计算,我们要更深入地发现划线的规律。
这里我们只考虑 (x_1<x_2) 并且(y_1<y_2)的情况,实际上我们也只需要考虑这种情况,正如前面代码所写的sx, sy
,通过这两个变量我们便能控制要画的直线方向是正确的。
- Bresenham的输入为两个点((x_1, y_1), (x_2,y_2))。根据这两个点,我们能够计算出两点之间的“距离“。这里的距离用的是绝对值,对应的是代码里的
dx, dy
。
根据斜截式(y=kx+b),我们有(y=frac{Delta y}{Delta x}x+b),进而有
在这条公式中:
- 实际上,用于判断下一个点的位置的就是(frac{Delta y}{Delta x})和(frac{Delta x}{Delta y})。这两个值变化的根本目的是使上面的方程成立,根据这一点,我们直接引入一个变量(err)避免浮点数运算(对应代码中的
err
和e2
)
- 现在我们已经能够将 (err) 和 (x, y) 联系起来,但是还有一个很重要的问题没有解决:判断增加x轴坐标还是增加y轴坐标
首先假设我们在起始坐标((x,y)),当前的(err)也是正确的,现在需要判断下一个点的坐标。
根据传统的Bresenham算法:
我们更关注中间的部分,结合上一点所说的(err)和(Delta x,Delta y)的关系对其进行变形
- 从上面的公式看来似乎是与(err)有点关系了,但是还不明确,那是因为我们的推到基于起始点,倘若基于的不是起始点,那么该公式应当为
(varepsilon)为一个累加值,其来源与当前点((x,y))和起始点((x_0,y_0))的相对位置有关,个人理解是:每一次(x+1)或(y+1)都会让原来的直线平移,这个平移便会造成误差,而这个误差会随着程序的进行而不断累加,而这个累加值对应的正是(err)
- 现在我们就有能力将(err)和程序中的
err
联系起来了。
if
后的条件与上面的公式对应,而err
与(varepsilon)不同。不同之处是:err
是已经计算好的(varepsilon-Delta y)和(varepsilon+Delta x)。我们可以这样思考:在某一个点((x,y))处,我们已经计算得到了正确的、可以用于判断的(err),当我们选择下一个点时,我们可以顺便把下一个点的(err)给计算了,这就是代码中err -= dy; err += dx;
蕴含的意思。
if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }
if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }
- 关于
err
的初始化 Updated in 2020
我们注意到代码中对err
进行了初始化。在前面我们的推导忽略了一个部分:起始点((x_1,y_1))的(err)。从公式(Ax+By+C+err=0)上看,起始点的(err)应当为(0)才对,但是代码中用了一个奇怪的值进行了初始化。看起来二者是矛盾的,但是err
的初始化实际上是另一个小技巧。
int err = (dx>dy ? dx : -dy)/2
看回前面提到的那张图,蓝色点为起始点。倘若人工进行判断,我们会根据黑色点的位置(black)决定下一个点在何处。当(black>0.5)时我们会选择下面的绿点,否则选择上面的绿点。
然而此处的0.5
会引入浮点数运算。我们还有一种选择:将起始点((x_1,y_1))上移半个单位(这里只考虑(Delta x>Delta y),其余情况同理)。因为起始点相对于第一个像素有了偏移,引入了误差(err),根据前面对(err)的推导有:
这样便能解释err
的初始值问题,而且与我们前面的推导是一致的。
- 至此,Bresenham算法理解完成。