BZOJ3028

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Description

求满足(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8=n(nleq10^{500}))的方案数，对(10007)取模。其中(2|x_1)，(x_2in{0,1})，(x_3in{0,1,2})，(2|x_4-1)，(4|x_5)，(x_6in{0,1,2,3})，(x_7in{0,1})，(3|x_8)，(x_{1..8}geq0)。

Solution

生成函数(generation function)，多用于解决多重集的组合问题。一个多重集(S)对应一个数列({a_k})，其中(k)为(S)的类别数，(a_i)等于(i)在(S)中的重数：那么多重集(S)的生成函数(g(x)=sum_{i=0}^{+infty}a_ix^i)。
这道题就是一个多重集组合的裸题。列出每个变量所在集合的生成函数：

[egin{align*} g_1(x) &= 1+x^2+x^4+x^6+... = (1-x^2)^{-1} \ g_2(x) &= 1+x \ g_3(x) &= 1+x+x^2 \ g_4(x) &= x+x^3+x^5+x^7+... = (1-x^2)^{-1} \ g_5(x) &= 1+x^4+x^8+x^{12}+... = (1-x_4)^{-1} \ g_6(x) &= 1+x+x^2+x^3 \ g_7(x) &= 1+x \ g_8(x) &= 1+x^3+x^6+x^9+... = (1-x^3)^{-1} end{align*}$$相乘得到$G(x)=x(1-x)^{-4}$，其中$x^n$项的系数，就是和为$n$的方案数。依二项式定理展开，得到 $$ G(x)=sum_{i=1}^{+infty} (-1)^{i-1}inom{-4}{i-1} x^i $$$$egin{align*} ans &= (-1)^{n-1} inom{-4}{n-1} \ &= (-1)^{n-1} frac{prod_{i=0}^{n-2}(-4-i)}{(n-1)!} \ &= frac{prod_{i=0}^{n-2}(4+i)}{(n-1)!} \ &= frac{prod_{i=0}^{n-2}(4+(n-2)-i)}{(n-1)!} \ &= inom{n+2}{n-1} \ &= inom{n+2}{3} \ &equiv inom{⌊frac{n+2}{P}⌋}{0}inom{(n+2)mod P}{3} &pmod P \ &equiv inom{(n+2)mod P}{3} &pmod P end{align*}]

时间复杂度(O(1))（不包括读入）。

Code

//食物
#include <cstdio>
int const P=10007;
char n0[600];
int main()
{
    scanf("%s",n0+1); int n=0;
    for(int i=1;n0[i];i++) n=(n*10+n0[i]-'0')%P;
    int ans=(n+2)*(n+1)%P*n%P*1668%P;
    printf("%d
",ans%P);
}

P.S.

我错误地推导出(inom{-4}{n-1}=inom{P-4}{(n-1)mod P})，但仍然A掉了这道题...感谢sbw巨佬
发现LaTeX代码mod和pmod！x mod y(x mod y)，pmod p(pmod p)。以前都是打mod加空格的...