AC自动机学习笔记

定义

Aho-Corasick automaton，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法。
具体问题大致为多个模式串在一个文本串中匹配查询的问题。
AC自动机利用某些操作阻止了模式串匹配阶段的回溯,将时间复杂度优化到了 (O(n))(n为文本串长度)

前置芝士

基本的 (Trie) 树，(KMP) 的失配指针思想。
不会 (KMP) 可以先去学习 (KMP)算法

AC 自动机

思想其实挺简单的，就是在一棵由模式串构造出的字典树上进行文本串的匹配。
但是如果每次匹配都从根开始匹配，算法复杂度问题比较大，所以就有了 AC 自动机。
其思想与 (KMP) 一致，对于字典树上的节点建立失配指针，匹配失败的话直接跳转到失配指针继续匹配。
下边给出一个例子：
我们现在有模式串： abc,bcd,acd,cd。
那么我们可以建出一个这样的字典树

然后给出一个很长的文本串，一个一个从根开始扫复杂度非常不友好，所以我们就会用到 (fail) 指针。
(fail) 指针的建立是找到两个串的最长公共后缀，然后连起来，所以我们这个树的 (fail) 指针应该就是这样的：

每一次匹配失败之后，从最长的公共后缀开始匹配，这样一定是对的。

接下来我们关心的就是如何去找 (fail) 指针。
首先我们建一棵字典树，然后利用 (BFS) 找，首先把根节点下的点入对，然后找每次出队的点作为父亲，枚举所有可能的儿子（字母一共26个），如果有这个儿子，那么这个儿子的 (fail) 指针就是父亲 (fail) 指针的当前儿子。如果没有当前儿子，那么就把当前节点的当前儿子设为当前节点 (fail) 指针的当前儿子。（可能说的不太清楚，当前儿子指的是枚举的儿子是谁）。

下边给出构造 (fail) 指针的代码：

queue<int>q;
inline void build(){
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i]) q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else t[x][i] = t[fail[x]][i];
		}
	}
}

然后在查询的时候，对于文本串的每个字符，就从根节点一直跳 (fail) 指针查找，一直向下寻找,直到匹配失败( (fail) 指针指向根或者当前节点已找过).

查询代码

inline void query(char *ch){
	int len = strlen(ch + 1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];//从该字母节点开始跳
		for(int j = rt;j;j = fail[j])ans[end[j]]++;//直到匹配失败。
	}
}

到这里，AC自动机的内容就讲解完了，主要就是 (fail) 指针的建立和查询时跳 (fail) 指针的操作。

例题

下边给出洛谷上的三道模板题以供练习：

【模板】AC自动机（简单版）

题目

题目链接

分析

板子（题目说了），查询文本串中有多少个不同的模式串。
我们在建立字典树的时候，对于最末尾节点用数组 (end) 记录一下有多少个串以这个点作为结尾，在查询跳 (fail) 的时候，累加上跳到的点的 (end) 即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc() getchar()
#define read() ({ register int x = 0, f = 1; register char c = gc(); while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = gc();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c & 15), c = gc(); f * x; })
char buf[1 << 20], *p1, *p2;
const int maxn = 1e6+10;
char s[maxn];
int n;
int t[maxn][30];
int tot,end[maxn],fail[maxn];
inline void insert(char *ch){//建立字典树
	int rt = 0;
	int len = strlen(ch+1);
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		if(!t[rt][x])t[rt][x] = ++tot;
		rt = t[rt][x];
	}
	end[rt]++;//记录当前点是几个单词的结尾
}
inline void build(){//找fail指针
	queue<int>q;
	memset(fail,0,sizeof(fail));
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i])q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else{
				t[x][i] = t[fail[x]][i];
			}
		}
	}
}
inline int query(char *ch){//查询
	int len = strlen(ch+1);
	int rt = 0,ans = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];
		for(int j = rt;j && end[j] != -1;j = fail[j]){
			ans += end[j];//累加
			end[j] = -1;//清空
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		scanf("%s",s+1);
		insert(s);
	}
	build();
	scanf("%s",s+1);
	printf("%d
",query(s));
	return 0;
}

【模板】AC自动机（加强版）

题目

题目链接

分析

题目要我们找到出现最多的模式串出现的次数和是谁，那么我们就在建立字典树的时候，记录一下以每个点作为结尾的串是哪个串。
在进行查询的时候，每次跳 (fail) 指针跳到某个点的时候，就给当前点记录的串的下标的答案++（有些绕，一会可以结合代码看看）。
最后对于 (ans) 数组扫两遍即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc() getchar()
#define read() ({ register int x = 0, f = 1; register char c = gc(); while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = gc();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + (c & 15), c = gc(); f * x; })
char buf[1 << 20], *p1, *p2;
const int maxn = 5e5+10;
int t[maxn][30];
char s[maxn];
char ss[200][maxn];
int tot;
int fail[maxn],end[maxn],ans[maxn];
inline void insert(char *ch,int now){
	int len = strlen(ch+1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		if(!t[rt][x])t[rt][x] = ++tot;
		rt = t[rt][x];
	}
	end[rt] = now;//记录当前点是谁的结尾
}
queue<int>q;
inline void build(){//日常建fail指针
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i])q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else{
				t[x][i] = t[fail[x]][i];
			}
		}
	}
}
inline void query(char *ch){
	int len = strlen(ch + 1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];
		for(int j = rt;j;j = fail[j])ans[end[j]]++;//当前节点代表的单词出现个数++
	}
}
int main(){
	int n;
	while(1){
		scanf("%d",&n);if(n == 0)break;
		memset(t,0,sizeof(t));//多测注意清空
		memset(end,0,sizeof(end));
		memset(fail,0,sizeof(fail));
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		for(int i = 1;i <= n;++i){
			scanf("%s",ss[i]+1);
			insert(ss[i],i);
		}
		build();
		scanf("%s",s+1);
		query(s);
		int mx = 0;//下边扫两边即可
		for(int i = 1;i <= n;++i)if(ans[i] > mx)mx = ans[i];
		printf("%d
",mx);
		for(int i = 1;i <= n;++i)if(ans[i] == mx)printf("%s
",ss[i]+1);
	}
	return 0;
}

【模板】AC自动机（二次加强版）

题目

题目链接

分析

与加强版差不了多少，只不过是查询的东西不一样了。
我们现在要统计每个串出现多少次，那么我们就记录一下每个串的终点是谁。
在查询的时候，我们不需要跳 (fail) ，改成对于每个点访问次数++，然后再从每个点的 (fail) 向当前点建边。
利用差分，我们把每个点访问次数++，就相当与把根到当前点上所有点次数都++，这样只需要建立一棵 (fail) 指针连接的树，然后 (dfs) 一遍求出差分答案即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if(ch == '-') w = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}
const int maxn = 2e6+10;
char s[maxn];
int tot;
int fail[maxn],end[maxn],sum[maxn],t[maxn][30];
inline void insert(char *ch,int now){
	int	len = strlen(ch+1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		if(!t[rt][x])t[rt][x] = ++tot;
		rt = t[rt][x];
	}
	end[now] = rt;//记录当前串结尾是哪个点
}
queue<int>q;
inline void build(){
	for(int i = 0;i < 26;++i){
		if(t[0][i]) q.push(t[0][i]);
	}
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0;i < 26;++i){
			if(t[x][i]){
				fail[t[x][i]] = t[fail[x]][i];
				q.push(t[x][i]);
			}
			else t[x][i] = t[fail[x]][i];
		}
	}
}
inline void query(char *ch){
	int len = strlen(ch+1);
	int rt = 0;
	for(int i = 1;i <= len;++i){
		int x = ch[i] - 'a';
		rt = t[rt][x];
		sum[rt]++;//每个点访问次数++
	}
}
struct Node{
	int v,next;
}e[maxn<<1];
bool vis[maxn];
int head[maxn],cnt;
inline void Add(int x,int y){
	e[++cnt].v = y;
	e[cnt].next = head[x];
	head[x] = cnt;
}
inline void dfs(int x){
	vis[x] = 1;
	for(int i = head[x];i;i = e[i].next){
		int v = e[i].v;
		if(vis[v])continue;
		dfs(v);
		sum[x] += sum[v];
	}
}
int main(){
	int n = read();
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		scanf("%s",s+1);
		insert(s,i);
	}
	build();
	scanf("%s",s+1);
	query(s);
	for(int i = 0;i <= tot;++i)Add(fail[i],i);//建树
	dfs(0);//差分
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		printf("%d
",sum[end[i]]);//按结尾点出现次数知道串出现次数
	}
}