卢卡斯定理

前言：

可以用来计算 $C_{n}^{m}\%p$

正文：

卢卡斯定理

卢卡斯定理适用于模数 $p$ 为质数的情况

首先我们知道组合数的计算公式

$C_{n}^{m}=dfrac{n!}{m!;(n-m)!}$

所以我们可以先递推出阶乘

再用快速幂或 $EXGCD$ 计算逆元

也可以直接递推阶乘逆元

然后就可以计算 $C$ 了

ll qpow(ll a,int b,int p)
{
    ll ans=1,base=a%p;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*base%p;
        base=base*base%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll jc[maxn];

ll C(ll n,ll m,int p)
{
    if(n<m) return 0;
    return (jc[n]*qpow(jc[m],p-2,p)%p)*qpow(jc[n-m],p-2,p)%p;
}

然后可以直接套用卢卡斯定理的公式

$C_{n}^{m}\%p=C_{n\%p}^{m\%p} imes C_{n/p}^{m/p};\%;p$

ll Lucas(ll n,ll m,int p)
{
    if(!m) return 1;
    return C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

扩展卢卡斯定理

扩展卢卡斯定理可以计算模数 $p$ 不是质数的情况

而且不需要会卢卡斯定理，但需要会EXGCD和EXCRT

后序：

个人感觉卢卡斯定理除了过板子之外并没有什么用

然而好像不会有人去考板子，所以它算是死了吧