均匀分布和高斯分布

原文地址：https://blog.csdn.net/hongxue8888/article/details/78217283

一、均匀分布    

数学期望：E(x)=(a+b)/2
方差：D(x)=(b-a)²/12
若连续型随机变量X具有概率密度 
f(x)={1b−a,0,a<x<b其他f(x)={1b−a,a<x<b0,其他

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。记为X~U(a，b）。

易知f(x)≥0f(x)≥0，且∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1

在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量X,具有下述意义的等可能性，即它落在区间（a，b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在（a，b）的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上，对于任一长度L的子区间（c，c+l），a≤c<c+l≤ba≤c<c+l≤b,有 
P{c<X≤c+l}=∫c+lcf(x)dx=∫c+lc1b−adx=lb−aP{c<X≤c+l}=∫cc+lf(x)dx=∫cc+l1b−adx=lb−a

对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使对于任意实数x有 
F(x)=∫x−∞f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt

由上式得X的分布函数为 
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥bF(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x<b1,x≥b

f(x)及F(x)的图形分别如图2-9，图2-10所示。 
 
图2-9

 
图2-10

例：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900ΩΩ~1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。

解：R的概率密度为 
f(r)={11100−900,0,900<r<1100,其他。f(r)={11100−900,900<r<1100,0,其他。

故有P{950<R≤1050}=∫10509501200dr=0.5P{950<R≤1050}=∫95010501200dr=0.5

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为： 
X∼N(μ,σ2), 
参考： 
http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591

一、均匀分布 
若连续型随机变量X具有概率密度 
f(x)={1b−a,0,a<x<b其他f(x)={1b−a,a<x<b0,其他

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。记为X~U(a，b）。

易知f(x)≥0f(x)≥0，且∫∞−∞f(x)dx=1∫−∞∞f(x)dx=1

在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量X,具有下述意义的等可能性，即它落在区间（a，b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在（a，b）的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。事实上，对于任一长度L的子区间（c，c+l），a≤c<c+l≤ba≤c<c+l≤b,有 
P{c<X≤c+l}=∫c+lcf(x)dx=∫c+lc1b−adx=lb−aP{c<X≤c+l}=∫cc+lf(x)dx=∫cc+l1b−adx=lb−a

对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使对于任意实数x有 
F(x)=∫x−∞f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt

由上式得X的分布函数为 
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥bF(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x<b1,x≥b

f(x)及F(x)的图形分别如图2-9，图2-10所示。 
 
图2-9

 
图2-10

例：设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900ΩΩ~1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。

解：R的概率密度为 
f(r)={11100−900,0,900<r<1100,其他。f(r)={11100−900,900<r<1100,0,其他。

故有P{950<R≤1050}=∫10509501200dr=0.5P{950<R≤1050}=∫95010501200dr=0.5

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。 
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为： 
X∼N(μ,σ2), 
参考： 
http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591