基、维数、子空间、维数下降

一、问题的提出　

　　受到空间、平面、直线不同维数的影响，始终很难理解基（一组线性无关向量）的长短和维数的区别。基的长短=维数？

　　要知道空间的表示，基是三个自由度；平面则是两个自由度。在投影是维数下降...

　　看起来非常混沌！！

二、问题的分析

先分析几个结论：

（1）子空间的维数≤原空间的维数

因为子空间的集合是原空间集合的子集，毫无疑问，子空间所需要的线性无关向量个数≤原空间所需要的线性无关向量个数，因此，结论得以证明。

（2）基的长短≠空间维数

举个反例，显然(a1,a2,0)，满足加法和数乘运算封闭性，是三维空间的子空间，它需要两个线性无关的向量表示即可，因此是空间维数是二。但它的基长度是3.

（3）区别空间维数和向量维数

（4）矩阵乘法的意义

http://blog.csdn.net/wanggcong/article/details/43538613

A_m×n矩阵和n×1向量相乘

情况1：m=n

若秩为n，那么就是线性叠加，n维线性空间映射到n维线性空间

若秩小于n，那么就是n维空间映射到n维线性空间的[Rank(A)线性子空间]

情况2：m<n

若秩为m，n维空间映射到m线性空间

若秩小于m，n维空间映射到m线性空间的[Rank(A)线性子空间]

情况3：m>n

n维空间映射到m线性空间的[Rank(A)线性子空间]

但无论如何，都是变成m维向量

（4）问题是三维空间的二维子空间和二维空间有什么不同？

这个问题应该相当于：三维空间中的平面和二维平面有什么不同，在慢慢想想吧，为什么上述相乘投影，向量少了一维怎么理解，虽然空间的维数一样。暂时觉得是等价的，只是前者浪费了一个自由度

参考文献

吉大教材《线性代数》

程云鹏《矩阵论》