Jordan标准形

一、引入

　　前面已经指出，一切n阶矩阵A可以分成许多相似类。今要在与A相似的全体矩阵中，找出一个较简单的矩阵来作为相似类的标准形。当然以对角矩阵作为标准形最好，可惜不是每一个矩阵都能与对角矩阵相似。因此，急需引入一种较为简单而且对于一般矩阵都可由相似变换得到。

　　当矩阵A能相似于某对角矩阵时，该对角矩阵就是A的一个Jordan形。而当矩阵A不能相似于对角矩阵时，它必然与一个非对角的Jordan形相似。此时的Jordan形J与对角矩阵的差别也只是在主对角线元素的上邻位有某些元素为1.在这个意义上，Jordan标准型可以说是与A相似的矩阵中最简单的了。

　　Jordan标准型应用广泛。如果能够得到一个线性变换或者线性变换矩阵，那么我们可以迅速地得到线性微分方程组，特征多项式等。

二、定义

　　设T是复数域C上的线性空间Vn的线性变换，任取Vn上一个基，T在该基下的矩阵是A，T(或A)的特征多项式可分解因式为

　　φ(λ)=(λ-λ₁)^_m1(λ-λ₂)^m2...(λ-λ_t)^mt

　　m1+m2+...+mt=n

　　则Vn可分解成不变子空间的直和

　　Vn=N1直和N2直和...Nt

　　其中Nt=（x|（T-λiTi）mi=0，x属于Vn）是线性变换T-λiTi的核子空间。（有点看不清）

　　举个例子：

　　特征多项式为φ(λ)=（λ+1）²（λ-5）

　　则Jordan标准型为

　　　　-1 1                  或                     5

　　　　　　-1                                        -1     1                                      

　　　　　　　　5                                           -1

三、简单的结论

（1）对于给定的矩阵A，在不计各Jordan块排列次序的意义下，A的Jordan标准型是唯一的。

（2）方阵A的Jordan标准型J是上三角矩阵，其主对角线上元素恰好是A的全部特征值。

（3）对角矩阵本社是Jordan形，它的每个对角元都是一个一阶的Jordan块。

四、定理

（1）两个同阶方阵相似的充要条件是它们的Jordan形一致。（忽略排序因素）

（2）矩阵A能与对角矩阵相似的充要条件是它的初等因子全为一次式。

（3）如果n阶矩阵A的全部特征值为λ1，λ2...λn，则矩阵A^m的全部特征值恰是λ1^m，λ2^m...λn^m。（这里，λ1,λ2...λn可以相同）

（4）设n阶矩阵A的全部特征值为λ1，λ2...λn，则对于任意多项式f（λ），矩阵A的全部特征值为f(λ1),f(λ2),...,f(λn)

注意：

　　最后需要指出，在许多实际问题中，复数往往没有多大意义，因此，需要在实数域R上来求标准型。

参考文献

《矩阵论》 程云鹏