ARC102D Revenge of BBuBBBlesort!

原题链接

先不加证明给出一个结论：被操作的点仅可能是初始序列中 (p[i] = i) 的点。

我们新建一个数组 (b[i] = (p[i] == i))。显然对于相邻且 (b) 值相等的两个位置无法进行操作，这样我们就把原序列分成了若干个 (b) 值 (01) 交替的子串。每个子串可以单独考虑，一个子串符合条件需要满足两个条件（若所有子串都符合条件输出 (Yes)，否则输出 (No)）：

1. 子串中所有 (p) 的范围在 ([l,r]) 之间（(l,r) 为子串在原序列中的下标）。
2. 子串中 (p) 数组中除去 (b[i] = 1) 的数后，最长下降子序列长度不能超过 (2)。

第一个条件显然。

先证明第二个条件的必要性：若最长下降子序列长度大于 (2)，则一定能找到 (x,y,z) 三个位置满足 (p[x]>p[y]>p[z])，容易发现这三个数不可能都回到自己的位置上。

充分性：发现一次交换不可能使最长下降子序列的长度增加，所以我们对于可操作的点可以随意操作，直到最长下降子序列的长度变为 (1)，由于题目不需要构造，所以这道题就做完了。

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最后证明一下最开始给的结论。分两种情况证明初始非 (p[i]=i) 的点不可能进行操作：

1. 对一个不满足 (p[i]=i) 的点进行操作。操作后有 (p[i-1]<p[i]<p[i+1])。
   • 若 (p[i]<i)。则最后需要把 (p[i]) 移到左边，那么我们必然要以 (i-1) 为中心进行一次操作，那么首先要把 (p[i-1]) 换成比 (p[i]) 大的数，那么必然又要以 (i-2) 为中心进行一次操作。也就是说，如果成功的使得 (p[i-1]>p[i]) 了，随之而来的就是 (p[i-2]<p[i-1]) 的悲剧。这样一来，(p[i-2]<p[i-1]>p[i])，还是没办法进行操作，也就是最后 (p[i]) 不可能移到它该在的位置。
   • (p[i]>i) 同理。
2. 一个点在若干次操作后 (p[i]=i)。显然这个点只可能是跟 (p[i-2]) 或 (p[i +2]) 交换得到。如果是跟 (p[i-2]) 交换得到则一定有交换后 (p[i] > p[i-1])；若是跟 (p[i+2]) 交换得到则一定有交换后 (p[i]<p[i+1])。显然无论哪种都不可能满足题目给的 (p[i-1]>p[i]>p[i-1]) 的条件。而无论哪种情况一定存在 (p[i-1]=i-1) 或 (p[i+1]=i+1)，思考一下可以发现原本 (p[i]=i) 的点是无论如何不可能被换走的。所以我们也永远不会以 (i) 为中心点进行操作 。

证毕。