最小生成树两个重要的算法：Prim 和 Kruskal。
Prim：时间复杂度O(n^2)，适用于边稠密的网络。
Kruskal：时间复杂度为O(e*log(e))，适用于边稀疏的网络。
【Prim主要算法思想和函数】
注：扩展了部分功能，根据需要可以选择得到算法结束时哪些边被选择。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 const int N=101; 5 6 struct Edge 7 { 8 int from; 9 int to; 10 }; 11 12 int matrix[N][N];
/*
最小生成树之Prim算法:
算法思想:选定一点到当前树集合,迭代合并距离当前树最近的点,同时更新剩余的点到当前树的"距离"
n:点的个数;
cost:边的权值,无边用0x3f3f3f3f表示无穷大;(建议初始化cost的时候:memset(cost,0x3f,sizeof(cost));)
edge_arr存放结果选定的边(此功能可选,默认参数为不选)
*/
1 template <class T> 2 T MST_Prim(const int & n,T cost[][N],Edge * edge_arr=NULL) 3 { 4 int i,j; 5 T ans=0; 6 T dis[N]; //用于记录当前每个点到当前的树的距离 7 int pre[N]; 8 bool vst[N]={false}; //用于标记点是否在当前树上 9 for(vst[0]=true,i=0;i<n;i++) 10 dis[i]=cost[0][i],pre[i]=0; 11 for(i=1;i<n;i++) 12 { 13 int idx=-1; 14 T Min=0x3f3f3f3f; 15 for(j=0;j<n;j++) 16 { 17 if(! vst[j] && dis[j]<Min) 18 { 19 idx=j; 20 Min=dis[j]; 21 } 22 } 23 if(idx==-1) 24 return -1; 25 vst[idx]=true; 26 ans+=dis[idx]; 27 if(edge_arr) 28 { 29 edge_arr[i-1].from=pre[idx]; 30 edge_arr[i-1].to=idx; 31 } 32 for(j=0;j<n;j++) 33 { 34 if(! vst[j] && cost[idx][j]<dis[j]) 35 dis[j]=cost[idx][j],pre[j]=idx; 36 } 37 } 38 return ans; 39 } 40 41 int main() 42 { 43 int n; 44 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 45 { 46 int i,j; 47 for(i=0;i<n;i++) 48 { 49 for(j=0;j<n;j++) 50 scanf("%d",&matrix[i][j]); 51 } 52 printf("%d\n",MST_Prim(n,matrix)); 53 } 54 return 0; 55 }
【Kruskal算法思想和函数】
/*
并查集的一个特性:
用一个数组p[]表示每一个元素的父级元素
最父级的元素的父级元素是一个负数,这个负数的绝对值是这个集合下的元素的个数
*/
1 template <class T> 2 bool operator <(const Edge<T> & a,const Edge<T> & b) 3 { 4 return a.cost<b.cost; 5 } 6 7 /* 8 找到x所在集合的最父级代表元素 9 如果这个集合只有x自己,那么最父级代表元素当然就是它自己 10 */ 11 int FindSet(int * p,int x) 12 { 13 int tmp,px=x; 14 while(p[px]>=0) //找到x所在集合的代表元素 15 px=p[px]; 16 /* 17 路径压缩,可选,如果需要频繁查询,压缩之后可以提高速度 18 即把从x到代表元素路径上的所有的元素的父节点都表示为代表元素 19 */ 20 while(p[x]>=0) 21 { 22 tmp=p[x]; 23 p[x]=px; 24 x=tmp; 25 } 26 return px; //x元素所在集合的代表元素 27 } 28 29 /* 30 合并x和y所在的集合. 31 */ 32 void UnionSet(int * p,int x,int y) 33 { 34 int tmp; 35 x=FindSet(p,x); 36 y=FindSet(p,y); 37 if(x==y) 38 return ; 39 tmp=p[x]+p[y]; 40 if(p[x]>p[y]) //将小树合并到大树下 41 { 42 p[y]=tmp; 43 p[x]=y; 44 } 45 else 46 { 47 p[x]=tmp; 48 p[y]=x; 49 } 50 return ; 51 }
/*
最小生成树算法之Kruskal算法:
算法思想:每次找最小的边,如果在已有的森林中加入该边后会形成回路,则舍弃,否则加入然后合并森林
n:点的个数;
edge_cnt:边的个数
edge[]:保存边的数组
edge_arr:保存选择边的数组,可选功能
*/
1 #include <algorithm> 2 #include <iostream> 3 using namespace std; 4 5 const int N=1001; //定义能处理的最大点的个数 6 7 template <class T> 8 struct Edge 9 { 10 int from; 11 int to; 12 T cost; 13 }; 14 15 template <class T> 16 T MST_Kruskal(const int & n,const int & edge_cnt,Edge<T> edge[],Edge<T> * edge_arr=NULL) 17 { 18 T ans=0; 19 int i,x,y,p[N],cnt=0; 20 memset(p,-1,sizeof(p)); 21 sort(edge,edge+edge_cnt); 22 for(i=0;i<edge_cnt;i++) 23 { 24 x=FindSet(p,edge[i].from); 25 y=FindSet(p,edge[i].to); 26 if(x!=y) 27 { 28 UnionSet(p,x,y); 29 ans+=edge[i].cost; 30 if(edge_arr) 31 edge_arr[cnt]=edge[i]; 32 cnt++; 33 if(cnt==n-1) 34 return ans; 35 } 36 } 37 return -1; 38 }