The Euler function
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欧拉函数：
低效的会TLE
code:
1 //高效 2 #include <iostream> 3 #include <iomanip> 4 #include <fstream> 5 #include <sstream> 6 #include <algorithm> 7 #include <string> 8 #include <set> 9 #include <utility> 10 #include <queue> 11 #include <stack> 12 #include <list> 13 #include <vector> 14 #include <cstdio> 15 #include <cstdlib> 16 #include <cstring> 17 #include <cmath> 18 #include <ctime> 19 #include <ctype.h> 20 using namespace std; 21 22 __int64 phi[3000005]; 23 24 int main() 25 { 26 int i,j; 27 int N=3000005; 28 //------------------------------------------------------------------------------------ 29 for (i=1;i<=N;i++) //先除去因子2 30 phi[i]=(i&1)?i:i/2; 31 for (i=3;i<=N;i+=2) //找因子 32 if(phi[i]==i) //i的因子是否被全被找完（如i=9，i=15） 33 for(j=i;j<=N;j+=i) 34 phi[j]=phi[j]/i*(i-1); 35 /* 36 模拟： 37 假设N=18 38 i=3 39 phi[3]=3/3*2; 40 phi[6]=3/3*2 41 phi[9]=9/3*2 42 phi[12]=6/3*2 43 phi[15]=15/3*2 44 phi[18]=9/3*2 45 46 i=5 47 phi[5]=5/5*4 48 phi[10]=5/5*4 49 phi[15]=15/5*4 50 51 i=7 52 phi[7]=7/7*6 53 phi[14]=7/7*6 54 55 i=9 56 不会进入循环，因为此时phi[9]!=9 57 58 i=11 59 phi[11]=11/11*7 60 61 i=13 62 phi[13]=13/13*12 63 64 i=15 65 不会进入循环，因为此时phi[15]!=15 66 67 i=17 68 phi[17]=17/17*16 69 */ 70 //------------------------------------------------------------------------------------ 71 int n,m; 72 __int64 sum; 73 while(~scanf("%d%d",&n,&m)) 74 { 75 sum=0; 76 for(i=n;i<=m;i++) 77 sum+=phi[i]; 78 printf("%I64d\n",sum); 79 } 80 return 0; 81 } 82 83 84 85 86 /* 低效 87 88 #include <iostream> 89 #include <math.h> 90 using namespace std; 91 #define N 3000000 92 __int64 len,a[N+10],b[N+10],p[N+10]; 93 94 __int64 phi(int n) 95 { 96 int i,k=sqrt((double)n),ans=n; 97 for (i=0; i<len&&p[i]<=k;i++) //一个数的因子肯定小于根号n 98 { 99 if (n%p[i]==0) //找因子 100 ans=ans/p[i]*(p[i]-1); //公式 101 while(!(n%p[i])) 102 { 103 n/=p[i]; 104 } 105 } 106 if (n!=1) //找到未除尽的最后一个因子 107 ans=ans/n*(n-1); 108 return ans; 109 } 110 111 void init() 112 { 113 int i,j; 114 len=0; 115 //--------------------------素数筛选法-------------------------------------------------------- 116 for (i=2; i<=N; i++) 117 a[i]=1; 118 for (i=2; i<=sqrt((double)N); i++) 119 if (a[i]) 120 for (j=i; j*i<=N; j++) 121 a[j*i]=0; 122 for (i=0; i<=N; i++) 123 if (a[i]) 124 p[len++]=i; 125 //--------------------------phi打表----------------------------------------------------------- 126 for (i=4; i<=N; i++) 127 if (!a[i]) 128 b[i]=phi(i); 129 //-------------------------------------------------------------------------------------------- 130 } 131 132 int main() 133 { 134 int n,m; 135 init(); 136 while (~scanf("%d%d",&n,&m)) 137 { 138 __int64 sum=0; 139 for (int i=n;i<=m;i++) 140 if(a[i]) 141 sum+=i-1; 142 else 143 sum+=b[i]; 144 printf("%I64d\n",sum); 145 } 146 return 0; 147 }*/
欧拉函数：
对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
完全余数集合：
定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。
显然，对于素数p，φ(p)= p - 1.
对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)
证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：
1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
3) {0}
很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)
欧拉定理：
对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n
{
注：
同余符号：
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如 26 ≡ 14 (mod 12)
}
证明：
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合
S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此
任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n
= （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
aφ(n) ≡ 1 mod n
费马定理：
a是不能被质数p整除的正整数，则有 ap - 1 ≡ 1 mod p
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p
欧拉函数公式：
( 1 ) pk 的欧拉函数
对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = pk ，
φ(n) = pk - pk -1
证明：
小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个，其中
和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个
所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。
( 2 ) p * q 的欧拉函数
假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。
证明：
令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
根据中国余数定理，有
Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。）
所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。
( 3 ) 任意正整数的欧拉函数
任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为：
I
n = ∏ piki
i=1
（注：∏是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于Σ，有时也用来代表圆周率值）
根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为：
I I
Φ(n) = ∏ piki -1(p
i
-1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
i=1 i=1
对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在 p
i
-1 是偶数。