【功能】
Tarjan算法的用途之一是，求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话，那么这个强连通分量就是极大强连通分量。
【算法思想】
用dfs遍历G中的每个顶点，通dfn[i]表示dfs时达到顶点i的时间，low[i]表示i所能直接或间接达到时间最小的顶点。(实际操作中low[i]不一定最小，但不会影响程序的最终结果)
程序开始时，time初始化为0，在dfs遍历到v时，low[v]=dfn[v]=time++，
v入栈（这里的栈不是dfs的递归时系统弄出来的栈）扫描一遍v所能直接达到的顶点k，如果 k没有被访问过那么先dfs遍历k，low[v]=min(low[v],low[k])；如果k在栈里，那么low[v]=min(low[v],dfn[k])(就是这里使得low[v]不一定最小，但不会影响到这里的low[v]会小于dfn[v])。扫描完所有的k以后，如果low[v]=dfn[v]时，栈里v以及v以上的顶点全部出栈，且刚刚出栈的就是一个极大强连通分量。
【大概的证明】
1． 在栈里，当dfs遍历到v，而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时，low[v]=dfn[v]时，v一定能到达栈里v上面的顶点：
因为当dfs遍历到v，而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时（假设上面没有low=dfn），这时如果发现low[v]=dfn[v]，栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的，所以v一定能够到达那些顶点。
2 .dfs遍历时，如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v]，我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点，这些顶点的low一定小于 自己的dfn，不然就会出栈了，也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量，如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v]（这里不再详细说），所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。
【时间复杂度】
因为所有的点都刚好进过一次栈，所有的边都访问的过一次，所以时间复杂度为O(n+m)
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有向图强连通分量的Tarjan算法(详解):
转自：https://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/
[有向图强连通分量]
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，
Low(u)=Min
{
DFN(u),
Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附：tarjan算法的C++程序 void tarjan(int i) { int j; DFN[i]=LOW[i]=++Dindex; instack[i]=true; Stap[++Stop]=i; for (edge *e=V[i];e;e=e->next) { j=e->t; if (!DFN[j]) { tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i]) LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i]) LOW[i]=DFN[j]; } if (DFN[i]==LOW[i]) { Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i); } } void solve() { int i; Stop=Bcnt=Dindex=0; memset(DFN,0,sizeof(DFN)); for (i=1;i<=N;i++) if (!DFN[i]) tarjan(i); }
http://www.cnblogs.com/justforgl/archive/2013/02/02/2890494.html
POJ 1236 Tarjan http://blog.csdn.net/kk303/article/category/905394