欧拉筛学习笔记

线性筛质数

代码

int prime[MAXN],tot;
bool is_prime[MAXN];
void choose(int n)
{
    memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
    is_prime[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(is_prime[i])
            prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            is_prime[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}

分析

算法分析

考虑你在设计一个线性筛质数算法

你想，既然要做到“线性”，那么每个数必须只能被筛一次

所以我们猜想，一个合数只会被它的最小素因数筛去

代码分析

memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));

首先假设所有数都是素数

is_prime[1]=0;

确定$1$不是素数

for(int i=2;i<=n;i++)

枚举所有$[1,N]$区间内的数

if(is_prime[i])
    prime[++tot]=i;

如果它在之前的筛选中“存活”下来，那么它一定是个素数，把它加入素数列表

for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)

枚举i与一个素数能组成的所有合数，注意不要让它们超过n

is_prime[i*prime[j]]=0;

标记为合数

if(i%prime[j]==0)
    break;

关键一步

如果i可以有一个素数因子，就跳出循环

为什么呢？

我们先来看线性筛质数的规则：

一个合数只会被它的最小素因数筛去

如果i有别的素因数了，那么坚强证明它不是接下来的合数的最小素因数

所以为了保证运行效率，要跳出循环

时间复杂度

$$ T(N) = O(N) $$

参考文献

1. 欧拉筛筛素数 - 学委的博客