裴蜀定理
裴蜀定理的内容
定理1
若$a,b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数$x,y,ax+by$都一定是$d$的倍数，特别地，一定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立。
定理2
对于方程$ax+by=1$，只有当整数$a,b$互质时，方程才有整数解。
以上内容摘自百度百科。
裴蜀定理的证明
特此说明：以下证明纯属我自己yy，如有错误请联系我指正。
定理1证明
我们设$ d=gcd(a,b) $，则显而易见，$d mid a$，且$d mid b$。
根据整除的性质，我们得出$ d mid ax+by ( x,y in Z ) $。······（式1.2.1.1）
所以根据（式1.2.1.1）以及整除的意义得出$ ax+by=dk ( k in Z^+ ) $。
当$k=1$时，则$ax+by=d$。
根据（式1.2.1.1），我们还可以得出$d mid x$，且$d mid y$。
至此，定理1证毕。
定理2证明
我们可以看出，定理2就是定理1的特殊情况，即$d=1$时的情况。
我们可以利用反证法证明。
首先我们假设$a,b$不互质，即$gcd(a,b) ot = 1$。······（命题1.2.2.1）
也就是$d ot = 1$。······（式1.2.2.2）
根据定理1，$ax+by=d$。
在定理2中，这个式子是$ax+by=1$。
可得$d=1$。······（式1.2.2.3）
所以，（式1.2.2.2）与（式1.2.2.3）矛盾，所以（命题1.2.2.1）为伪命题。
至此，定理2证毕。
裴蜀定理的应用
- 拓展欧几里得算法