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  • 常见数列

    全0

    [F_i = 0 ]

    斐波那契数列:

    [F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}, F_1 = F_2 = 1 ]

    错排

    递推式:

    [D_n = (n - 1) (D_{n - 1} + D{n - 2}) ]

    考虑最后一个元素插入即可

    通项式:

    [D_n = n! sum_{i = 0}^{n}(-1)^i frac 1 {i!} ]

    带入:

    [M_i = frac 1 {i!} D_i ]

    [i!M_i = (i - 1) ((i - 1)!M_{i - 1} + (i -2)!M_{i - 2}) ]

    [i M_i = (i - 1)M_{i - 1} + M_{i - 2} = i*M_{i - 1} - M_{i - 1} + M_{i - 2} ]

    [i(M_i - M_{i - 1}) = -(M_{i -1} - M_{i - 2}) ]

    [(i - 1)(M_{i - 1} - M_{i - 2}) = -(M_{i - 2} - M_{i - 3}) ]

    [(M_i - M_{i - 1}) = (-1) ^ i frac 1 {i!} ]

    [M_n = sum_{i = 0} ^ n (-1)^i frac 1 {i!} ]

    带回得出

    容斥:

    (i) 个位置的数相同

    [D_i = sum_{i = 0} ^ n (-1)^i inom n i (n - i)! ]

    [= sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ i frac {n !} {i! (n - i)!} (n - i)! ]

    [= n! sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ i frac 1 {i!} ]

    卡特兰数:

    [C_0 = 1 ]

    递推式:

    [C_n = sum_{i = 0}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i} ]

    新括号 -> $ () $ 旧括号 -> $ |$

    [| ( ( ) ) | ( ) ( ) ]

    通项式:

    [C_n = inom {2n} {n} - inom {2n} {n + 1} ]

    画图理解。。。

    第一类斯特林数

    (n) 个相同元素放到 (m)非空环上

    递推式:

    [egin{bmatrix} n \ m end{bmatrix} = egin{bmatrix} n - 1 \ m - 1end{bmatrix} + (n - 1)egin{bmatrix} n - 1 \ mend{bmatrix} ]

    考虑第 (n) 个元素, 可以新占一个环,也可以加入一个环
    如果是加入环,放的位置只和它的前驱有关,一共有 ((n - 1)) 个前驱

    第二类斯特林数

    (n) 个相同元素放到 (m)非空集合

    [egin{Bmatrix} n \ m end{Bmatrix} = egin{Bmatrix} n - 1 \ m - 1 end{Bmatrix} + m egin{Bmatrix} n - 1 \ m end{Bmatrix} ]

    考虑第 (n) 个元素, 可以新占一个集合,也可以加入一个集合
    如果是加入集合,放的位置只和它的集合是谁有关,一共有 (m) 个集合

    通项:

    考虑对集合容斥
    先将所有集合标号
    (i) 表示选 (i) 个空集合

    [egin{Bmatrix} n \ m end{Bmatrix} = frac 1 {m!}sum_{i = 0} ^ m (-1)^i inom m i (m - i) ^n ]

    $ dfrac 1 {m!} $ 抵消掉标号的影响

    贝尔数

    [B_0 = 1 ]

    (n) 个元素分入若干个非空集合的方案数

    [B_n = sum_{i = 0}^n egin{Bmatrix} n \ i end{Bmatrix} ]

    递推式:

    考虑第 ((n + 1)) 个元素的所在集合大小为 (k + 1)(算上自己)

    [B_{n + 1} = sum_{k = 0}^n inom n {n - k} B_{n - k} = sum_{k = 0}^n inom n k B_k ]

    调和级数

    [H_n = sum _{i = 1} ^ n frac n i = ln~n + O ]

    (O) 为常数

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