【题解】The Last Hole! [CF274C]

【题解】The Last Hole! [CF274C]

传送门：( ext{The Last Hole!}) ( ext{[CF274C]})

【题目描述】

给出平面上 (n) 个圆的圆心坐标，最开始它们的半径都是 (0)，然后所有圆同时开始扩大，在时刻 (t) 时所有圆的半径均为 (t) 。

假设这些黑色的圆被放在一个无穷大的白色平面上，每个时刻都存在一些黑色、白色连通块。随着圆的逐渐增大，越来越多的圆会相交。

定义一个白色的封闭区域为一个“洞”，求最后一个“洞”消失的时刻。如果没有“洞”则输出 (-1)。

答案精度差不能超过 (10^{-4}) 。

【分析】

【计算几何全家桶】

画个图感受一下，发现所有的♂洞♂都可以简化为两种情况：由 呈锐角三角形的三个圆 或者 呈矩形的四个圆 所生成（指圆心呈 XX 形状）。

可以直接 (O(n^3)) 枚举包围圈，可知“洞”消失的部位一定是 外心/对角线交点。对于三角形取外接圆半径，对于矩形则取对角线长度一半，最后找最大值即为答案。

给出三角形顶点坐标不会求外接圆的，这里有个板子（输出有点鬼畜）：( ext{Circle Through Three Points [UVA190]})

但这样做的话在 ( ext{test 6}) 就会 ( ext{WA}) ：

4
0 0
4 8
8 0
4 3

按照上述做法求出来答案为 (5)，而实际上三角形外心与另一个圆心 ((4,3)) 重合了，也就是说根本就不会出现“洞”。

所以正确做法应该是把所以可能的“洞”的消失点储存下来，并计算它在选出来的包围圈中消失所需时间 (ti) 。最后扫一遍所有圆，如果所有圆都没有在 (ti) 之前覆盖掉这个点，那么 (ti) 就是合法的。

时间复杂度为：(O(n^3+kn))，其中 (k) 为储存下来的可能消失点个数，由于不合法的较多，远达不到上界 (n^3)，可以轻松水过。

【Code】

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define LD double
#define LL long long
#define Re register int
#define Vector Point
#define mp make_pair
#define S(a) ((a)*(a))
using namespace std;
const int N=103;
const LD eps=1e-10;
inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}//处理精度
inline LD Abs(LD a){return a*dcmp(a);}//取绝对值
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
struct Point{LD x,y;Point(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}};
inline LD Dot(Vector a,Vector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//【点积】
inline LD Cro(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//【叉积】
inline LD Len(Vector a){return sqrt(Dot(a,a));}//【模长】
inline Vector operator+(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline Vector operator-(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline Vector operator*(Vector a,LD b){return Vector(a.x*b,a.y*b);}
inline bool operator==(Point a,Point b){return !dcmp(a.x-b.x)&&!dcmp(a.y-b.y);}
struct Circle{Point O;LD r;Circle(Point P,LD R=0){O=P,r=R;}};
inline Circle getcircle(Point A,Point B,Point C){//三点确定一圆
    LD x1=A.x,y1=A.y,x2=B.x,y2=B.y,x3=C.x,y3=C.y;
    LD D=((S(x2)+S(y2)-S(x3)-S(y3))*(y1-y2)-(S(x1)+S(y1)-S(x2)-S(y2))*(y2-y3))/((x1-x2)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y2));
    LD E=(dcmp(y2-y1)!=0)?(S(x1)+S(y1)-S(x2)-S(y2)+D*(x1-x2))/(y2-y1):(S(x2)+S(y2)-S(x3)-S(y3)+D*(x2-x3))/(y3-y2);
    LD F=-(S(x1)+S(y1)+D*x1+E*y1);
    return Circle(Point(-D/2.0,-E/2.0),sqrt((S(D)+S(E)-4.0*F)/4.0));
}
inline int pan_PL_(Point p,Point a,Point b){//【判断点P是否在直线AB上】
    return !dcmp(Cro(p-a,b-a));//PA,AB共线
}
int n,cnt,X[N],Y[N];Point P[N],Q[N*N*N];LD ti[N*N*N];LD ans=-1;map<pair<int,int>,int>vis;
inline void sakura1(Point A,Point B,Point C){//处理三角形
    if(dcmp(Dot(A-B,C-B))<=0||dcmp(Dot(A-C,B-C))<=0||dcmp(Dot(B-A,C-A))<=0)return;//钝角三角形、直角三角形都不要
//    printf("(%.lf,%.lf) (%.lf,%.lf) (%.lf,%.lf)
",A.x,A.y,B.x,B.y,C.x,C.y);
    Circle Cir=getcircle(A,B,C);Q[++cnt]=Cir.O,ti[cnt]=Cir.r;
}
inline void sakura2_(Re i,Re j,Re k){//假设i为左下角，j为左上角，k为右下角
    if(X[i]==X[j]&&Y[i]<Y[j]&&Y[i]==Y[k]&&X[i]<X[k]){
//        printf("(%d,%d) (%d,%d) (%d,%d)
",X[i],Y[i],X[j],Y[j],X[k],Y[k]);
        if(vis[mp(X[k],Y[j])])Q[++cnt]=Point((X[i]+X[k])/2.0,(Y[i]+Y[j])/2.0),ti[cnt]=Len(P[j]-P[k])/2.0;
    }
}
inline void sakura2(Re i,Re j,Re k){//处理矩形
    sakura2_(i,j,k),sakura2_(j,i,k),sakura2_(k,i,j);//枚举6种i,j,k可能的组合,
    sakura2_(i,k,j),sakura2_(j,k,i),sakura2_(k,j,i);//最后需要的只有1种
}
int main(){
//    freopen("123.txt","r",stdin);
    in(n);
    for(Re i=1;i<=n;++i)in(X[i]),in(Y[i]),vis[mp(X[i],Y[i])]=1,P[i]=Point(X[i],Y[i]);
    for(Re i=1;i<=n;++i)//不重复的枚举i,j,k
        for(Re j=i+1;j<=n;++j)
            for(Re k=j+1;k<=n;++k)
                if(!pan_PL_(P[i],P[j],P[k]))//如果三点不共线
                    sakura1(P[i],P[j],P[k]),sakura2(i,j,k);
    for(Re i=1;i<=cnt;++i){
        Re flag=1;
        for(Re j=1;j<=n&&flag;++j)flag&=(dcmp(Len(Q[i]-P[j])-ti[i])>=0);//如果在ti[i]之前就被某个点覆盖了
        if(flag)ans=max(ans,ti[i]);
    }
    printf("%lf
",ans);
}