熟知微分流形中子流形的定义。一个不难被提出的简单的问题是
问题 对微分流形$M$，何种等价关系$sim$可以使得商拓扑空间$M/sim$具有微分流形的结构，使得自然映射$M o M/sim$是光滑的？
这个问题在微分流形的标准教材上处于避而不谈的地位。不过如下这个结论不过是微分流形的习题。回忆『嵌入子流形的结构是唯一』的这一性质(4.54)，『浸入商流形』也有类似的性质。
命题 对微分流形$M$，等价关系$sim$，$M/sim$至多只有一种微分结构使得自然映射$Mstackrel{pi} o M/sim$是淹没。
证明 我们可以证明淹没具有『泛性质』。任何满射$M/sim stackrel{varphi} o A$，则$varphi$光滑当且仅当$varphicirc pi$光滑(4.47)。于是微分结构就被确定了。
具体来说，可以在局部选择$x,pi(x),varphi(pi(x))$可以选择坐标卡，从而局部上可以将$M/sim$『提升』回到$M$。根据反函数定理，淹没是开映射，所以可以选择$x$的坐标卡$U$和$varphi(pi(x))$的坐标卡$V$使得$varphi(pi(U))subseteq V$，再选择$pi(x)$坐标卡$Wsubseteqpi(U)$，即可。$square$
另一件事是关于Hausdorff性的少见习题
命题 对拓扑空间$X$，等价关系$sim$，则商拓扑$X/sim$是Hausdorff的当且仅当$simsubseteq X imes X$是闭集。
证明 $X/sim$是Hausdorff的$iff$任意两个$x extrm{不}sim y$存在开集$U,V$满足$xin U,yin V$使得$$forall uin U,vin V, u extrm{不}sim v$$$iff$$(x,y) otin sim$存在含$x,y$的开集$U imes V$使得$U imes Vcap sim=varnothing$$iff$$simsubseteq X imes X$是闭集. $square$
一个流行的构造商流形的方法就是利用Lie群作用
定义 对于微分流形$M$，Lie群$G$，$G$作用在$M$上被称为是
- 光滑的，如果$G imes M o M$是光滑的。
- 真的(proper)，如果映射$G imes M i (g,p)mapsto (gp,p)in M imes M$满足紧致集的原像还是紧致的。
- 自由的，只有$1in G$有不动点。
商流形定理 假如Lie群$G$光滑，自由，真的作用在微分流形$M$上，那么轨道空间$M/G$具有唯一的$dim M-dim G$维微分流形的结构使得自然映射$Mstackrel{pi} o M/G$是淹没。
证明梗概 首先可以证明每一条轨道都是一个闭集，且$G o Gpsubseteq M$是嵌入子流形，
- 首先$G o Gpsubseteq M$也满足紧致集的原像还是紧致的。
- 紧致集的原像还是紧致的连续映射一定是闭映射。任意选择极限点，选取逐渐缩小的紧致邻域，考虑原像必定有交，从而极限点一点在像中。
- 单射是因为自由作用，从而每一点都是浸入。
- 因为闭映射从而是嵌入。
我们需要对每个点找一个坐标$(x,y)$使得前几位$(x,0)$将落在轨道上，而后几位$(0,y)$与每条轨道只交于至多一个点，就像是『垂直所有轨道』一样。
- 先将每一点分解成两部分，第一部分是轨道的切空间，得到一个满足Frobenius条件的分布。
- 利用Frobenius定理得到坐标卡，此时前几位的条件已经满足，后几位最多与某条轨道交可数个点。
- 通过缩小这个坐标卡，如果始终不能做到只有一个交点，那么存在$p_i eq p_i'in M$和$g_iin G$使得$g_i p_i=p_i'$，可取$g_i$的收敛子列，发现迫使$g=1$。
- 注意到$G imes {(0,y)} o M$在$(1,0)$附*是*展（即切映射可逆），上述情况是不可能发生的。
下面开始论证$M$是微分流形
- 注意根据上面的论证此时轨道空间是Hausdorff的。
- 不难验证是第二可数的。
- 对于点$pG$，取$p$的坐标卡$(x,y)$满足上面的条件，然后，取坐标卡$y$即可满足条件，这是良定义的。
- 微分结构不难验证，因为$y$原本就是相容的。
命题得证。$square$
商流形定理完整的证明可见Lee Introduction to smooth manifold. Page 544 Theorem 21.10. 一个有用的推论是如下的离散群作用。
定理 当群$G$是离散时(即$0$维Lie群)，$G$在微分流形$M$上的作用是光滑，自由，真的当且仅当
- 对每一个$gin G$，$g:M o M$是光滑的。
- 每一个点$pin M$，都存在领域$U$使得$gUcap U=varnothing$, 对所有$g eq 1$。这在拓扑学家的口中称为真不连续(properly discontinuous)。
- 对任意两个不在同一条轨道上的点$p,qin M$，存在$p$的邻域$U$，$q$的邻域$V$使得$gVcap U=varnothing$，对所有$gin G$。
证明同样见Lee Introduction to smooth manifold. Page 548 Lemma 21.11.
实际上，可以给出等价的刻画，这被称为Godement判据。
Godement定理 对微分流形$M$，等价关系$sim$，则下列条件是等价的
- $M/sim$具有微分流形的结构使得$Mstackrel{pi} o M/sim$是淹没。
- $simsubseteq M imes M$是闭嵌入子流形且投射$sim o M$是淹没。
证明梗概 第一条推第二条比较容易，考虑如下交换图$$egin{array}{ccc}sim & o & M \ downarrow && downarrow \ M & o & M/sim end{array}$$左上两箭头是投射。注意到$sim$是$X imes X o X/R$的原像，因为常秩，其具有自然的嵌入子流形结构。计算切空间知$sim$的切空间是$ker [mathsf{Tan}M imes mathsf{Tan}M o mathsf{Tan}M/sim]$，不难发现投射是淹没。
反之，证明分很多步。对于$Usubseteq M$，记$sim_U=sim cap (U imes U)$。称$U$是饱和的如果$pi^{-1}(pi(U))=U$。
首先，如果$M=igcup U_i$，每个$U_i$都是饱和的，如果$U_i/sim_{U_i}$都是流形，则$M/sim$是流形。
- 每个$pi(U_i)=U_i/sim_{U_i}$都是开集，且$M/sim=igcup U_i/sim_{U_i}$。
- 因为此时$(U_icap U_j)/sim_{U_icap U_j}$的流形结构是一样的。
- 综之，可以将流形结构粘粘。
对于开集$Usubseteq M$，如果$pi(U)=M/sim$，且$U/sim_U$是流形，则$M/sim$是流形。
- 此时$U/sim_U=M/sim$，故我们要说明$M o U/sim_U$是淹没即可。
- 考虑如下交换图$$egin{array}{ccc}simcap(M imes U) & o & M \ downarrow && downarrow \ U & o &U/sim_U end{array}$$计算切空间立刻知$M o U/sim_U$是淹没。
综合上述两条结果我们可以得到：如果$M=igcup U_i$，每个$U_i/sim_{U_i}$都是流形，则$M/sim$是流形。这样，问题就局部化了。在局部上我们证明存在满足条件的坐标卡$(x,y)$使得$(x,y)sim (0,y)iff x=0$，这样$y$就给出商集局部上的坐标卡。
- 实际上$p$所在的等价类是$sim cap X imes {p}$，考虑子空间$X={Xin mathsf{Tan}_p(M): (X,0)inmathsf{Tan}_{p,p}(sim) }$，这定义了一个满足Frobenius条件的分布。
- 利用Frobenius定理得到坐标卡$(x,y)$，我们断言可以缩小坐标卡使得$(x,y)sim (0,y)iff x=0$。
- 这是因为投射$({y=0} imes M)cap sim o M$在$(p,p)$附*是*展（即切映射可逆）。
综上命题得证。$square$
以上证明摘自Serre Lie algebras and Lie groups Page 92 Theorem 2.
商流形经典的例子莫过于射影空间。
例子 不难发现$mathbb{R}setminus {0}$在$mathbb{R}^{n+1}setminus {0}$的数乘作用满足商流形定理的条件。如果从Godement定理的角度看，就是要验证${(x,lambda x): xin mathbb{R}^{n+1}setminus{0}, lambdain mathbb{R}}$是否是嵌入子流形，$(x,lambda)mapsto x$是否是淹没，这都是*凡的。
另一个例子来自Lie群，熟知Lie群$G$，闭Lie子群$H$，则陪集空间$G/H$(几何学家称之为齐次空间)上有自然的微分流形结构。
例子 对于Lie群$G$，闭Lie子群$H$，$H$在$G$上的作用满足商流形定理的条件。如果从Godement定理的角度看则更为技术化。
另一个需要介绍的概念是纤维丛
定义 一个拓扑空间$X$上以$F$为纤维的纤维丛(Fiber Bundle)$E$是一个满射$pi: E o X$使得任何一点$xin X$存在开领域$U$使得和自然的同胚$Phi: pi^{-1}(U) o U imes F$。其中$Phi$需要满足$left[pi^{-1}(U)stackrel{Phi} o U imes Fstackrel{ extrm{投射}} o U ight]=left[pi^{-1}(U)stackrel{pi} o U ight]$。
实际上根据商流形定理的证明过程，$M$是$M/G$上以$G$为纤维的纤维丛。而Godement定理的过程则是给每点粘附不同的『纤维』，从其过程中可以看出，这是商流形定理的推广。